Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P是AD上的一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)D、點(diǎn)A不重合），DE⊥CP，垂足為E，EF⊥BE與DC交于點(diǎn)F．

（1）求證：△DEF∽△CEB；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到DA的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為DC的中點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由DE⊥CP，EF⊥BE，則∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠1=∠2，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠4+∠6=90°，而∠4+∠5=90°，則∠5=∠6，根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=DC=BC，而點(diǎn)P為DA的中點(diǎn)，則PD= AD=DC，再根據(jù)正切的定義得到tan∠4=，tan∠4=，則，然后根據(jù)△DEF∽△CEB得到，易得，即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）∵DE⊥CP，EF⊥BE，

∴∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，

∴∠1=∠2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠4+∠6=∠DCB=90°，

而在Rt△DEC中，∠4+∠5=90°，

∴∠5=∠6，

∴△DEF∽△CEB；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC=BC，

∵點(diǎn)P為DA的中點(diǎn)，

∴PD=AD=DC，

在Rt△PDC中，tan∠4=，

在Rt△DEC中，tan∠4=，

∴，

∵△DEF∽△CEB，

∴，

而CB=DC，

∴，

∴點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)．