Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，半徑為2cm的動(dòng)圓M與y軸交于A、B兩點(diǎn)，且保持弦AB長為定值2cm，圓M與x軸沒有交點(diǎn)，且圓心M在第一象限內(nèi)，P是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，MQ⊥AB于Q，且MP=3cm，設(shè)OA=ycm，OP=xcm．
（1）求x、y所滿足的關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當(dāng)△MOP為等腰三角形時(shí)，求相應(yīng)x的值；
（3）是否存在大于2的實(shí)數(shù)x，使△MQO∽△OMP？若存在，求出相應(yīng)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過M點(diǎn)作MN⊥OA于N，連接MA，在Rt△AMQ中，AQ=

1

2

AB，利用勾股定理求出MQ=

3

，也就是ON的長度，而OQ=OA+AQ=y+1，在Rt△MNP中，再利用勾股定理列式整理即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，根據(jù)被開方數(shù)不小于0解不等式即可求出x的取值范圍；
（2）因?yàn)閮蓷l邊是腰長不明確，所以分①OP=PM，②OM=PM，③OM=OP三種情況討論求解；
（3）假設(shè)存在，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，解方程，如果符合條件，則存在，否則，假設(shè)不成立，不存在．

解答：解：（1）過M點(diǎn)作MN⊥OA，垂足為N，連接MA，
∵AB=2，MA=2，M為圓心，
∴AQ=

1

2

AB=1，
∴ON=QM=

3

，MN=y+1，
在Rt△MNP中，MP=3，PN=x-

3

，
∴（y+1）²=9-（x-

3

）²，
∴y=

6+2 3 x-x2

-1(0＜x＜

3

+

5

)；

（2）當(dāng)△MOP為等腰三角形時(shí)，
①若OP=PM=3時(shí)，x=3，
②若OM=PM時(shí)，x=2

3

，
③若OM=OP時(shí)，有（y+1）²+3=x²
即9-（x-

3

）²+3=x²，
解得x=

3 + 11

2

或x=

3 - 11

2

（舍去）；

（3）當(dāng)△MQO∽△OMP時(shí)，有

MQ

OM

=

OM

OP

，
即

3

3+(y+1)2

=

3+(y+1)2

x

，
∴3+(y+1)2=

3

x，(y+1)2=

3

x-3，
∴9-(x-

3

)2=

3

x-3，
解得x=

3 + 39

2

或x=

3 - 39

2

（舍去）但

3 + 39

2

＞

3

+

5

，
∴不存在滿足條件的實(shí)數(shù)x，使△MQO∽△OMP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)較多，有垂徑定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．