Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑．點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過(guò)C作CD⊥PA，垂足為D.

(1)求證：CD為⊙O的切線；

(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直徑為10，求AB的長(zhǎng)度．

 

Answer 1

【答案】

（1）通過(guò)角度的轉(zhuǎn)化和逆運(yùn)算求證（2）6

【解析】

試題分析：、(1)證明：連接OC， ……… 1分

∵點(diǎn)C在⊙O上，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC. ……… 1分

∵CD⊥PA，∴∠CDA＝90°，

∴∠CAD＋∠DCA＝90°.

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC＝∠CAO.

∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝∠DCA＋∠CAO＝∠DCA＋∠DAC＝90°.   ……… 1分

又∵點(diǎn)C在⊙O上，OC為⊙O的半徑，

∴CD為⊙O的切線．                ……… 1分

(2)解：過(guò)O作OF⊥AB，垂足為F，   ……… 1分

∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，

∴四邊形OCDF為矩形，          

∴OC＝FD，OF＝CD.

∵DC＋DA＝6，設(shè)AD＝x，則OF＝CD＝6－x.

∵⊙O的直徑為10，∴DF＝OC＝5，

∴AF＝5－x.                  ……… 1分

在Rt△AOF中，由勾股定理得

AF²＋OF²＝OA².

即(5－x)²＋(6－x)²＝25，

化簡(jiǎn)得：x²－11x＋18＝0，

解得x＝2或x＝9.

由AD<DF，知0<x<5，故x＝2.   ……… 1分

∴AD＝2, AF＝5－2＝3.

∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，

∴AB＝2AF＝6.      

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評(píng)：在解題時(shí)要能靈運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出二次函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的關(guān)鍵