Question

如圖，拋物線y=-x²+c與x軸分別交于點(diǎn)A、B，直線y=-x+過(guò)點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)E，并與拋物線y=-x²+c相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線y=-x²+c的解析式；
（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在線段AB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、B重合），同時(shí)，點(diǎn)N在射線BC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)寫(xiě)出△MNB的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，△MNB的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求出c的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）聯(lián)立拋物線與直線解析式可求出交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求出sin∠EBO，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥x軸于點(diǎn)F，繼而可表示出NF，根據(jù)S_△MNB=BM×NF，可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可求出最大值．
解答：解：（1）∵直線y=-x+過(guò)點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得：0=-×2²+c，
解得：c=3；
（2）聯(lián)立拋物線及直線解析式可得：，
解得：或，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，）．
（3）由直線解析式可得點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，），
在Rt△BOE中，BE==，
則sin∠EBO==，
過(guò)點(diǎn)N作NF⊥x軸于點(diǎn)F，
設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=t，BN=2t，
則BM=4-t，NF=BN×sin∠EBO=t，
S_△MNB=BM×NF=（4-t）×t=-t²+t=-（t-2）²+（0＜t＜4），
故當(dāng)t=2時(shí)，S取得最大，最大值為．
綜上可得：S=-t²+t，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，△MNB的面積最大，最大面積是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，本題的難點(diǎn)在第三問(wèn)，需要同學(xué)們利用三角函數(shù)的知識(shí)表述出△MNB的高，這類(lèi)題目一般以壓軸題出現(xiàn)，同學(xué)們應(yīng)注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力．