Question

科學研究表明，合理安排各學科的課外學習時間，可以有效的提高學習的效率．教育專家們通過對九年級學生的課外學習時間與學習收益情況進行進一步的研究發(fā)現，九年級學生每天課外用于非數學學科的學習時間t（小時）與學習收益量y₁的函數關系是圖①中的一條折線；每天用于數學學科的學習時間t（小時）與學習收益量y₂的函數關系如圖②所示：圖象中OA是頂點為A的拋物線的一部分，AB是射線．

（1）求出y₁與時間t（小時）之間的函數關系式，并注明自變量t的取值范圍；
（2）求出y₂與時間t（小時）之間的函數關系式，并注明自變量t的取值范圍；
（3）如果九年級學生每天課外學習的時間為2小時，學習的總收益量為W（W=y₁+y₂），請問應如何安排學習時間才能使學習的總收益量最大？

Answer 1

分析：（1）由圖以及t的取值范圍，設直線解析式為y=kx以及y=ax+b利用圖象上點的坐標，即可求出y與x的函數關系式；
（2）利用分段函數的知識，需要注意的是x的取值范圍依照分段函數的解法求拋物線解析式和直線解析式解出即可；
（3）根據W=y₁+y₂，分別根據二次函數最值求法以及t的取值范圍求出即可．

解答：解：（1）當0≤t≤1.5時，設y₁=at，則45=1.5a，
解得：a=30，
∴y₁=30t，
當1.5≤t時，設y₁=bt+c，則

1.5b+c=45 2b+c=55

，
解得：

b=20 c=15

∴y₁=20t+15，
故y₁=

30t(0≤t≤1.5) 20t+15(t≥1.5)

；

（2）當0≤t≤1時，由圖象可得出，拋物線頂點坐標為（1，90），且過點（0，0），
設y₂=a（t-1）²+90，
將（0，0）代入得出：a=-90，
∴y₂=-90（t-1）²+90=-90t²+180t，
當1≤t時，設y₂=kt+d，則

k+d=90 2k+d=100

，
解得：

k=10 d=80

，
∴y₂=10t+80，
故y₂=

-90t2+180t(0≤t≤1) 10t+80(t≥1)

；

（3）設用于數學學習的時間為t，根據題意得：
①當0≤t≤0.5時：w=20（2-t）+15-90t²+180t=-90（t-

8

9

）²+126

1

9

，當t=0.5時，w_最大=112.5，
②當0.5≤t≤1時：w=30（2-t）+-90t²+180t=-90（t-

5

6

）²+122.5，當t=

5

6

時，w_最大=122.5，
③當1≤t≤2時：w=30（2-t）+10t+80=-20t+140，當t=1時，w_最大=120．
綜上所得，應安排

5

6

小時用于數學學習，

7

6

小時用于非數學學科的學習，才能使學習的總收益量最大．

點評：此題主要考查了函數定義、性質以及在實際問題中的應用等，利用自變量的取值范圍進行分段討論得出是解題關鍵．