Question

如圖1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的長(zhǎng).

小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換如圖1.她分別以AB、AC為對(duì)稱(chēng)軸，畫(huà)出△ABD、△ACD的軸對(duì)稱(chēng)圖形，D點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E、F，延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn)，得到四邊形AEGF是正方形.設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值.

（1）請(qǐng)你幫小萍求出x的值.

(2)  參考小萍的思路，探究并解答新問(wèn)題：

如圖2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.請(qǐng)你按照小萍的方法畫(huà)圖,得到四邊形AEGF，求△BGC的周長(zhǎng).（畫(huà)圖所用字母與圖1中的字母對(duì)應(yīng)）

 

Answer 1

解： （1）設(shè)AD=x，由題意得，BG=x－2，CG=x-3.

在Rt△BCG中，由勾股定理可得 .

解得 .         --------------2分

（2）參考小萍的做法得到四邊形AEGF，∠EAF=60°，

∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4.

連結(jié)EF，可得△AEF為等邊三角形.

∴ EF=4.

∴ ∠FEG=∠EFG= 30°.

∴ EG=FG.

在△EFG中，可求，.

    ∴△EFG的周長(zhǎng)＝BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG=. --------------5分

解析:略