Question

1．如果三角形有一邊上的中線(xiàn)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱(chēng)這個(gè)三角形為“等中三角形”．
探索體驗(yàn)
（1）如圖①，點(diǎn)D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，請(qǐng)畫(huà)出一個(gè)△ABC，使其為“等中三角形”；
（2）如圖②，在 Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求證：△ABC是“等中三角形”；
拓展應(yīng)用
（3）如圖③，在正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)P、Q分別在BC、CD邊上，且PQ∥BD，是否存在點(diǎn)Q，使△APQ為“等中三角形”？若存在，請(qǐng)求出DQ的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作射線(xiàn)DN，在射線(xiàn)DN上截取DC=AB，連接AC、BC，則△ABC即為所求．
（2）如圖2中，取AC的中點(diǎn)D，連接BD．由∠ACB=90°，tanA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{BC}{AC}$，所以可以假設(shè)BC=$\sqrt{3}$k，AC=2k，則CD=AD=k，在Rt△BDC中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}k）^{2}+{k}^{2}}$=2k，即可證明BD=AC．
（3）如圖3中，連接AC，交PQ于M．設(shè)DQ=x．首先證明CQ=CP，DQ=PB，根據(jù)AM=PQ列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，作射線(xiàn)DN，在射線(xiàn)DN上截取DC=AB，連接AC、BC，則△ABC即為所求．


（2）如圖2中，取AC的中點(diǎn)D，連接BD．

∵∠ACB=90°，tanA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴可以假設(shè)BC=$\sqrt{3}$k，AC=2k，
∴CD=AD=k，
在Rt△BDC中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}k）^{2}+{k}^{2}}$=2k，
∴BD=AC，
∴△ABC是“等中三角形”；

（3）如圖3中，連接AC，交PQ于M．設(shè)DQ=x．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CDB=∠CB=45°，CD=BC=AB=6，
∵PQ∥BD，
∴∠CQP=∠CPQ=45°，
∴CQ=CP，DQ=PB=x，
∴CQ=CP=6-x，PQ=$\sqrt{2}$（6-x），CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-x），
由題意AM=PQ，
∴6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-x）=$\sqrt{2}$（6-x），
∴x=2，
∴DQ=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、三角形的中線(xiàn)的定義、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考創(chuàng)新題目．