13.如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā),以相同的速度分別沿射線CA、射線CB運(yùn)動(dòng),作△CPQ關(guān)于直線PQ的軸對(duì)稱圖形(記為△C′PQ)當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)PC=x.△C′PQ與△ABC重疊部分的面積為S,S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示(其中0<x≤m,m<x≤n時(shí),函數(shù)的解析式不同)且當(dāng)x=m時(shí),S=$\frac{9}{2}$.

(1)填空:n的值為3+$\sqrt{3}$;
(2)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍.

分析 (1)0<x≤m,m<x≤n時(shí),函數(shù)的解析式不同可知當(dāng)x=m時(shí),C′在AB上,根據(jù)圖2得出$\frac{1}{2}$x2=$\frac{9}{2}$,求得x=3,由四邊形PCQC′是正方形,得出PC′∥BC,進(jìn)一步得出∠P′CA=∠B=30°,解直角三角形得出AP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC′=$\sqrt{3}$,從而求得n=AC=3+$\sqrt{3}$;
(2)分兩種情況分別討論即可求得.

解答 解:(1)∵0<x≤m,m<x≤n時(shí),函數(shù)的解析式不同,
∴當(dāng)x=m時(shí),C′在AB上,如圖①,
即$\frac{1}{2}$x2=$\frac{9}{2}$,∴x=3,
∵四邊形PCQC′是正方形,
∴PC′∥BC,
∴∠P′CA=∠B=30°,
在RT△APC′中,AP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC′=$\sqrt{3}$,
∴n=AC=3+$\sqrt{3}$;
故答案為3+$\sqrt{3}$;
(2)①當(dāng)0<x≤3時(shí),△C′PQ在△ABC內(nèi),
∴S=$\frac{1}{2}$x2;
②當(dāng)3<x≤3+$\sqrt{3}$時(shí),如圖②
∵AC=3+$\sqrt{3}$,PC=x,
∴AP=3+$\sqrt{3}$-x,
∴PD=$\sqrt{3}$AP=3$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{3}$x,
∴DC′=x-(3$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{3}$x)=($\sqrt{3}$+1)x-3$\sqrt{3}$-3,
∴C′E=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DC′=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$x-3-$\sqrt{3}$,
∴S△DC′E=$\frac{1}{2}$[($\sqrt{3}$+1)x-3$\sqrt{3}$-3]•($\frac{3+\sqrt{3}}{3}$x-3-$\sqrt{3}$)=$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$(x-3)2
∴S=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$(x-3)2=-$\frac{4\sqrt{3}-3}{6}$x2+(4$\sqrt{3}$+6)x-6$\sqrt{3}$-9,
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}(0<x≤3)}\\{-\frac{4\sqrt{3}-3}{6}{x}^{2}+(4\sqrt{3}+6)x-6\sqrt{3}-9(3<x≤3+\sqrt{3})}\end{array}\right.$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象,此題涉及的知識(shí)有:正方形的性質(zhì),直角三角函數(shù),三角形面積以及四邊形面積等,有一定的難度.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求拋物線的解析式和它的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若在該拋物線的對(duì)稱軸l上存在一點(diǎn)M,使MB+MC的值最小,求點(diǎn)M的坐標(biāo)以及MB+MC的最小值;
(3)若點(diǎn)P、Q分別是拋物線的對(duì)稱軸l上兩動(dòng)點(diǎn),且縱坐標(biāo)分別為m,m+2,當(dāng)四邊形CBQP周長(zhǎng)最小時(shí),求出此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)以及四邊形CBQP周長(zhǎng)的最小值.

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(1)求證:∠ABD=∠ACD;
(2)若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上,求證:AD平分∠CAE;
(3)當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),$\frac{CA-BA}{AM}$的值是否發(fā)生變化?若不變,說明理由.

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