Question

如圖，平面中兩條直線l₁和l₂相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，若p、q分別是M到直線l₁和l₂的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)（p，q）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”．根據(jù)上述定義，有以下幾個(gè)結(jié)論：
①“距離坐標(biāo)”是（0，1）的點(diǎn)有1個(gè)；
②“距離坐標(biāo)”是（5，6）的點(diǎn)有4個(gè)；
③“距離坐標(biāo)”是（a，a）（a為非負(fù)實(shí)數(shù)）的點(diǎn)有4個(gè)．
其中正確的有（　　）

A、0個(gè)

B、1個(gè)

C、2個(gè)

D、3個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)（p，q）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”，得出 ①若p=q=0，則“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點(diǎn)有且僅有1個(gè)；
②若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標(biāo)”為（p、q）的點(diǎn)有且僅有2個(gè)；
③若pq≠0，則“距離坐標(biāo)”為（p、q）的點(diǎn)有且僅有4個(gè)．
進(jìn)而得出解集從而確定答案．

解答：解：如上圖，平面中兩條直線l₁和l₂相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，
若p、q分別是M到直線l₁和l₂的距離，則稱有序非負(fù)數(shù)實(shí)數(shù)對(duì)（p、q）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”．
已知常數(shù)p≥0，q≥0，給出下列三個(gè)命題：
①若p=q=0，則“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點(diǎn)有且僅有1個(gè)；
②若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標(biāo)”為（p、q）的點(diǎn)有且僅有2個(gè)；
③若pq≠0，則“距離坐標(biāo)”為（p、q）的點(diǎn)有且僅有4個(gè)．
與L1距離是1的點(diǎn)是與之平行的兩條直線 與L2的距離是2的也是與之平行的兩條直線，這四條直線共有4個(gè)交點(diǎn)．
2）易知p，q中有且僅有一個(gè)為0，當(dāng)p為0時(shí)，坐標(biāo)點(diǎn)在L1上，分別為關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，反則在L2上也有兩點(diǎn)，但是這兩種情況不能同時(shí)存在，因?yàn)閜，q是已知量，所以只有2個(gè)這樣的點(diǎn)
3）與前一題相似，L1上有4個(gè)或L2有4個(gè)，但不同時(shí)存在，所以題干正確，
題目中點(diǎn)到直線的距離，分別為p、q，由于p、q的范圍是常數(shù)p≥0，q≥0，所以對(duì)p、q進(jìn)行分類討論，驗(yàn)證①②③是否成立．
①正確，此點(diǎn)為點(diǎn)O；
②正確，注意到p，q為常數(shù)，由p，q中必有一個(gè)為零，另一個(gè)非零，從而可知有且僅有2個(gè)點(diǎn)，這兩點(diǎn)在其中一條直線上，且到另一直線的距離為q（或p）；
③正確，四個(gè)交點(diǎn)為與直線l₁相距為p的兩條平行線和與直線l₂相距為q的兩條平行線的交點(diǎn)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，有分類討論的思想方法，又有創(chuàng)新意識(shí)，解題時(shí)需要注意．這是一個(gè)好題，注意變形去掉p≥0，q≥0又該怎樣解是解決問題的關(guān)鍵．