Question

如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，且AB∥CD．OB與EF相交于點(diǎn)M，OC與FG相交于點(diǎn)N，連接MN．
（1）求證：OB⊥OC；
（2）若OB=6，OC=8，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明利OB⊥OC，即轉(zhuǎn)化為證明∠BOC=90°，即可，利用切線長(zhǎng)定理和平行線的性質(zhì)：同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可證明；
（2）連接OF，首先證明四邊形ONFM是矩形，利用矩形的對(duì)角線相等可得：OF=MN，所以求MN的長(zhǎng)，即求出OF的長(zhǎng)即可．
解答：（1）證明：∵BA，BC為⊙O的切線，
∴BO平分∠ABC，
同理CO平分∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BOC=90°，
即OB⊥OC；

（2）連接OF，
∵BA，BC為⊙O的切線，
∴BE=BF，BO平分∠ABC，
∴BM⊥EF，
即∠OMF=90°，
同理：∠ONF=90°，
∴四邊形ONFM是矩形，
∴MN=OF，
在Rt△OBC中，OB=6，OC=8，BC²=OB²+OC²，
∴BC=10，
∵BC切圓于點(diǎn)F，
∴OF⊥BC，
∴△OFC∽△BOC，
∴=，
∴OF=4.8，
∴MN=4.8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線長(zhǎng)定理、平行線的性質(zhì)以及矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用和相似三角形的判定和性質(zhì)，難度較大，綜合性較強(qiáng)．