Question

如圖11，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=3，AD=1，BC=6，∠A=∠B=90°. 設動點P、Q、R在梯形的邊上，始終構成以P為直角頂點的等腰直角三角形，且△PQR的一邊與梯形ABCD的兩底平行.

(1) 當點P在AB邊上時，在圖中畫出一個符合條件的△PQR (不必說明畫法)；

(2) 當點P在BC邊或CD邊上時，求BP的長.

 

Answer 1

(1) 如圖.(注：答案不唯一，在圖中畫出符合條件的圖形即可)········ 2分

(2) ① 當P在CD邊上時，

由題意，PR∥BC，設PR=x.

可證四邊形PRBQ是正方形，∴ PR=PQ=BQ=x.

過D點作DE∥AB，交BC于E，易證四邊形ABED是矩形.

∴ AD=BE=1，AB=DE=3.··············· 3分

又 PQ∥DE，∴△CPQ∽△CDE，.

∴ ，·················· 4分

∴ x=，即BP=. ·············· 5分

(注：此時，由于∠C≠45°，因此斜邊RQ不可能平行于BC. 在答題中未考慮此問題者不扣分.)

② 當P在BC邊上，依題意可知PQ∥BC.

過Q作QF⊥BC，易證△BRP≌△FQP，則PB=PF.····· 6分

易證四邊形BFQR是矩形，

設BP=x，則BP=BR=QF=PF=x，BF=RQ=2x.········ 8分

∵ QF∥DE，∴ △CQF∽△CDE，∴ .············· 8分

∴ ，∴ x=.······················ 10分

(注：此時，直角邊不可能與兩底平行. 在答題中未考慮此問題者不扣分.