Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A（－1，O）、C（3，0），點(diǎn)B為拋物線頂點(diǎn)，直線BD為拋物線的對稱軸，點(diǎn)D在x軸上，連接AB、BC.

⑴如圖1，若∠ABC＝60°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______________；

⑵如圖2，若∠ABC＝90°，AB與y軸交于點(diǎn)E，連接CE.

①求這條拋物線的解析式；

②點(diǎn)P為第一象限拋物線上一個動點(diǎn)，設(shè)△PEC的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系武，并求出S的最大值；

③如圖3，連接OB，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使直線QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD，若存在請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）① ；② ，S的最大值；③或.

【解析】

（1）∠ABC=60°，故△ABC為等邊三角形，即可求解；

⑵①點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），拋物線的表達(dá)式為：y=a（x-1）2+2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式，即可求解；

②分別求出直線AB、CE的表達(dá)式，過點(diǎn)P作PH∥y軸交EC于點(diǎn)H，用含m的式子表示出PH和OC,根據(jù)列出函數(shù)關(guān)系式并求出最值即可；

③在BD上作點(diǎn)F,使DF=BD，連接CF.過點(diǎn)F作FG∥x軸，分別交CQ于點(diǎn)M、交BC的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)M作MH⊥CE于點(diǎn)H，則△CFG為等腰直角三角形，設(shè)HG=MH=n，求出，得到點(diǎn)M坐標(biāo)為，進(jìn)一步求出直線CM的表達(dá)式為：y=-3x+9；再將直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立成方程組，求解得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解：（1）∠ABC=60°，故△ABC為等邊三角形，
AC=4，則

函數(shù)對稱軸為x=1，故點(diǎn)B

故答案是；

（2）①AC=4，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），

拋物線的表達(dá)式為：y=a（x-1）2+2，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：0=a（-2）2+2，解得：

函數(shù)的表達(dá)式為：；

②將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+b得：

解得：

直線AB的表達(dá)式為：y=x+1，則點(diǎn)E（0，1），
同理可得直線CE的表達(dá)式為：

過點(diǎn)P作PH∥y軸交EC于點(diǎn)H，

則點(diǎn)，點(diǎn)

則

∴S有最大值，當(dāng)時，最大值為：

③存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或.

理由：

如圖3，在BD上作點(diǎn)F,使DF=BD，連接CF.過點(diǎn)F作FG∥x軸，分別交CQ于點(diǎn)M、交BC的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)M作MH⊥CE于點(diǎn)H，則△CFG為等腰直角三角形，

∵AC=4，則

，QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD，即：

設(shè)：HG=MH=n，則CH=2n，即

則點(diǎn)M坐標(biāo)為

可解得直線CM的表達(dá)式為：y=-3x+9

將直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立成方程組，并解得或

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或