Question

（2011•黑河）已知直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∠ABC=60°，BC與x軸交于點(diǎn)C．
（1）試確定直線BC的解析式．
（2）若動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動（不與A、C重合），同時(shí)動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CBA向點(diǎn)A運(yùn)動（不與C、A重合），動點(diǎn)P的運(yùn)動速度是每秒1個(gè)單位長度，動點(diǎn)Q的運(yùn)動速度是每秒2個(gè)單位長度．設(shè)△APQ的面積為S，P點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△APQ的面積最大時(shí)，y軸上有一點(diǎn)M，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以A、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得A點(diǎn)坐標(biāo)（﹣4﹐0），B點(diǎn)坐標(biāo)（0﹐4﹚，
∵OA=4OB=4，
∴∠BAO=60°，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵OC=OA=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)﹙4，0﹚，
設(shè)直線BC解析式為y=kx﹢b，
，
∴，
∴直線BC的解析式為y=﹣；（2分）
﹙2﹚當(dāng)P點(diǎn)在AO之間運(yùn)動時(shí)，作QH⊥x軸．
∵，
∴，
∴QH=t
∴S_△APQ=AP•QH=t•t=t²﹙0＜t≤4﹚，（2分）
同理可得S_△APQ=t•﹙8﹚=﹣﹙4≤t＜8﹚；（2分）
（3）存在，
（4，0），（﹣4，8）（﹣4，﹣8）（﹣4，）．（4分）

略