Question

已知：拋物線y=-x²+bx+c過點A（-1，0）、B（-2，-5），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）某直線過點A（-1，0），且與拋物線只有一個交點，求此直線的解析式；
（3）直線l過點C，且l∥x軸，E為l上一個動點，EF⊥x軸于F．求使DE+EF+BF的和為最小值的E、F兩點的坐標，并直接寫出DE+EF+BF的最小值．

Answer 1

分析：（1）將A（-1，0）、B（-2，-5）兩點坐標代入y=-x²+bx+c即可求得該拋物線的解析式；
（2）設直線解析式為y=kx+m，要想使直線與拋物線只有一個交點，方程x²+（k-2）x+k-3=0有兩個相等的實數(shù)根，解方程即可得出直線的解析式；
（3）先求出D點坐標，將D向下平移3個單位得D′點，求出直線BD′的解析式，便可求出F點坐標，進而求得E點坐標，可得DE+EF+BF的最小值是3+3

5

．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得：

-1-b+c=0 -4-2b+c=-5

，
解得：

b=2 c=3

，
∴所求拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）①若所求直線與y軸相交，設其解析式為y=kx+m（k≠0），
∵直線過A（-1，0），
∴m=k，
∴y=kx+k，
∵直線y=kx+k與拋物線y=-x²+2x+3只有一個交點，
∴方程kx+k=-x²+2x+3有兩個相等的實數(shù)根，
即方程x²+（k-2）x+k-3=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=k²-8k+16=0，
∴k₁=k₂=4，
∴直線的解析式為y=4x+4，
②若所求直線與y軸平行，所求直線為x=-1，
綜上所述，所求直線的解析式為y=4x+4或x=-1；

（3）拋物線y=-x²+2x+3的頂點坐標為D（1，4），與y軸交點C（0，3）．
把點D（1，4）向下平移3個單位，得到D′（1，1），
連接BD′交x軸于點F，
過點F作FE⊥直線l于E，則E、F兩點為所求．
設直線BD′的解析式為：y=ax+n（a≠0）
則

-2a+n=-5 a+n=1

，
解得：

a=2 n=-1

，
∴直線BD′的解析式為：y=2x-1，
∴直線BD′與x軸的交點F（

1

2

，0），
∵EF⊥x軸，EF=3，
∴E（

1

2

，3），
∴DE+EF+BF的最小值是3+3

5

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和方程有相等實數(shù)根的解及動點問題等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．