Question

【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B、與y軸相交于點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為M、對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)N．

（1）用b的代數(shù)式表示頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)tan∠MAN=2時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式及∠ACB的正切值．

Answer 1

【答案】（1）M（， ）；（2），

【解析】試題分析：把點(diǎn)A（2，0）坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得出，再帶回到中，配方化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）先由tan∠MAN=2得出MN的長(zhǎng)度，再分類(lèi)討論點(diǎn)B和N的位置關(guān)系，得出b的值，進(jìn)而得出二次函數(shù)的解析式，A作AH⊥BC，根據(jù)正切函數(shù)定義即可得出∠ACB的正切值

解：（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），

∴，

∴，

∴，

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（， ）．

（2）∵tan∠MAN=2，∴MN=2AN．

∵M（， ），∴ N（，0），．

①當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)， AN= ，∴， ．

不符合題意．

②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)N右側(cè)時(shí)， AN= ， ∴， ．

∴二次函數(shù)的解析式為．

∴點(diǎn)C（0，–10），∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線MN對(duì)稱，∴點(diǎn)B（10，0）．

∵OB=OC=10，∴BC=10，∠OBC＝45°．

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC,垂足為H，∵AB＝8，∴AH=BH=4，∴CH＝6．

∴．