Question

如圖，已知矩形OABC，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中A（2，0），C（0，3），點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C出發(fā)在射線CO上運(yùn)動(dòng)，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點(diǎn)E，連接PE交AB于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若AB平分∠EBP時(shí)，求t的值；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以P、O、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先求出AB=AE，再求出DE=5，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）本題需先求出CP=CB=2，即可求出t的值．
（3）本題需先證出△BCP∽△BAE，求出AE=t，再證出△POE∽△PCB，求出t的值，再求出OP的長(zhǎng)，即可求出P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）當(dāng)t=2時(shí)，PC=2，
∵BC=2，
∴PC=BC，
∴∠PBC=45°，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=45°，
∴AB=AE=3，
，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（5，0）；

（2）當(dāng)AB平分∠EBP時(shí)，
∠PBF=45°，
則∠CBP=∠CPB=45°，
，
∴t=2；

（3）存在，
∵∠ABE+∠ABP=90°，
∠PBC+∠ABP=90°，
∴∠ABE=∠PBC，
∵∠BAE=∠BCP=90°，
∴△BCP∽△BAE，
∴，
∴，
∴，
∵若△POE∽△PCB，
∴，
∴=，
∴t₁=，
t₂=（舍去），
∴P的坐標(biāo)為（0，）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，在解題時(shí)要根據(jù)已知條件再結(jié)合圖形是解題的關(guān)鍵，這是一道好題．