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如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm；點P從點A開始沿AD邊向點D以1厘米/秒的速度移動；與此同時，點Q從點C開始沿CB邊向點B以3厘米/秒的速度移動；當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止移動，設移動的時間為t秒．
（1）當t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？
（2）設四邊形PQCD的面積為y，求y與t的函數關系式．探索四邊形PQCD的面積是否存在最大值？若存在，最大值是多少？若不存在，請說明理由？

【答案】分析：（1）由題意得AP=t，DP=24-t，CQ=3t，0≤t≤，因為AD∥BC，則根據平行四邊形的判定得只要當DP=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，即有3t=24-t，解t即可；
（2）四邊形PQCD的面積等于△PQD與△DQC的面積和，而這兩個三角形的高都等于AB，所以y四邊形PQCD的面積=（DP+CQ）•AB=（24-t+3t）×8=8t+96，根據一次函數的性質討論當0≤t≤，y的最大值即可．
解答：解：（1）AP=t，DP=24-t，CQ=3t，0≤t≤，
∵AD∥BC，
∴只要當DP=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，
∴3t=24-t，解得t=6秒．
所以當t為6秒時，四邊形PQCD為平行四邊形；

（2）存在．
y四邊形PQCD的面積=（DP+CQ）•AB=（24-t+3t）×8=8t+96，
∵0≤t≤，y隨t的增大而增大，
∴當t=時，y有最大值=96+8×=（cm2）．
所以四邊形PQCD的面積的最大值為cm2．
點評：本題考查了平行四邊形的判定：一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形．也考查了直角梯形的性質以及一次函數的性質．
練習冊系列答案
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科目：初中數學 來源： 題型：

20、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E為BC邊上的點．將直角梯形ABCD沿對角線BD折疊，使△ABD與△EBD重合（如圖中陰影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，則梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm．（結果精確到0.1cm）

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科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F點以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動，E點同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動，設運動時間為t秒（0＜t＜5）．
（1）求證：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的長；
（3）設四邊形AFEC的面積為y，求y關于t的函數關系式，并求出y的最小值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（1998•大連）如圖，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE為直徑的⊙O交AB于點F，交CD于點G、H．過點F引⊙O的切線交BC于點N．
（1）求證：BN=EN；
（2）求證：4DH•HC=AB•BF；
（3）設∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα為根的一元二次方程．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠ADC=90°，AB=3a，CD=2a，AD=2，點E、F分別是腰AD、BC上的動點，點G在AB上，且四邊形AEFG是矩形．設FG=x，矩形AEFG的面積為y．
（1）求y與x之間的函數關式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）在腰BC上求一點F，使梯形ABCD的面積是矩形AEFG的面積的2倍，并求出此時BF的長；
（3）當∠ABC=60°時，矩形AEFG能否為正方形？若能，求出其邊長；若不能，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度向點B移動，點Q以1cm/s的速度向點D移動，當一個動點到達終點時另一個動點也隨之停止運動．
（1）經過幾秒鐘，點P、Q之間的距離為5cm？
（2）連接PD，是否存在某一時刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此時的移動時間；若不存在，請說明理由．

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