Question

如圖，點(diǎn)O在∠APB的平分線上，⊙O與PA邊相切于點(diǎn)C，

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）PO的延長線交⊙O于E，EA⊥PA于A.設(shè)PE交⊙O于另一點(diǎn)G，AE交⊙O于點(diǎn)F，連接FG，若⊙O的半徑是3，＝.

①求弦CE的長；②求的值.

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Answer 1

 (1)證明：連接OC，過點(diǎn)O作OD⊥PB于點(diǎn)D，

      ∵PA切⊙O于點(diǎn)C, ∴OC⊥PA

∵PO平分∠BPA,

        ∴OC=OD

      ∴PB是⊙O的切線；    （2）①連接CG，

      ∵EA⊥PA于A∴∠APC+∠ECA=90°

      ∵OC⊥PA, ∴∠OCE+∠EAC=90°

∴∠OCE=∠CEA

∵OC=OE, ∴∠OCE=∠OEC

∴∠AEC=∠CEG

∵EG為⊙O的直徑，∴∠ECG=90°

∵tan∠AEC= , ∴tan∠CEG=

        設(shè)CG=，則CE=，∵⊙O的半徑為3，∴直徑EG=6

            ∴

          解之得，（不合題意，舍去）

       ∴ 

       ②∵OC⊥PA, ∴∠OCG+∠PCG=90°

∵OC=OE, ∴∠OCG=∠OGC

而∠ECG=90°，∴∠OGC+CEG=90°

∴∠PCG=∠CEG

         ∵∠EPC=∠CPG

       ∴△PCG∽△PEC  ∴   

         設(shè)PG=則PC=，在Rt△POC中，OG=OC=3

       用勾股定理易得

            ∵∠GFE=∠PAE=90°∴GF∥PA

          ∴△EGF∽△EPA

∴