Question

在?ABCD中，AD=6，∠ABC=60°，點(diǎn)E在邊BC上，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，EF與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)H．
（1）如圖1，已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，求證：以E為圓心、EF為半徑的圓與直線(xiàn)CD相切；
（2）如圖2，已知點(diǎn)E不是BC的中點(diǎn)，連接BH、CF，求梯形BHCF的面積．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵∠EFB=90°，
∴∠EHC=90°，
∴EH⊥CH．
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴EB=EC．
∵在△BEF和△CEH中

∴△BEF≌△CEH（AAS），
∴EH=EF，
∴EH是⊙E的半徑．
∵直線(xiàn)CD過(guò)⊙E半徑EH的外端點(diǎn)H，
∴直線(xiàn)CD與⊙E相切．

（2）解：由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC=6，
∵∠ABC=60°，EF⊥AB，
∴∠CEH=∠FEB=30°，
∴EH=EC×cos30°，EF=BE×cos30°，
∴FH=EC×cos30°+BE×cos30°=6×=3，
設(shè)CH=x，則CE=2x，BE=6-2x，BF=3-x，
S_梯形BHCF=×（CH+BF）×3=×（x+3-x）×3=．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出EH⊥CH，進(jìn)而得出△BEF≌△CEH，EH=EF，即可得出答案；
（2）首先利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出梯形的高，進(jìn)而利用梯形面積公式求出．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線(xiàn)的判定以及梯形的面積公式和全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出梯形的高是解題關(guān)鍵．