Question

如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0）、B（-1，0）。C以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作⊙P與y軸的正半軸交于點(diǎn)C。

（1） 求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2） 設(shè)M為（1）拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（3） 試說明直線MC與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）連結(jié)PC，
∵A（4，0）、B（-1，0），
∴AB=5，
∴PC=OP=OA-PA=4-=，OC=2，
∴C（0，2），
設(shè)經(jīng)過A、C、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），
將C（0，2）代入得2=a（0-4）（0+1），
∴a=-，
∴y=-（x+1）（x-4）即y=-x²+x+2；
（2）由y=-x²+x+2=-（x-）²+，
∴M（，），
設(shè)直線CM的解析式為y=kx+2，將M（，）代入解得k=，∴y=x+2；
（3）結(jié)論：直線CM與⊙P相切。
證明：設(shè)MC與x軸相交于點(diǎn)N，由y=0解得x=-，
∴ON=PN=+=，NC=，
∴CN²+PC²=PN²即（）²+（）²=（）²，
∴∠PCN=90°，
∴MC與⊙P相切。