Question

半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P．已知BC∶CA＝4∶3，點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．

(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，CP⊥AB，設(shè)垂足為D． 　　∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°． 　　∴AB＝5，BC∶CA＝4∶3， 　　∴BC＝4，AC＝3． 　　又∵AC·BC＝AB·CD 　　∴ 　　在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∠CAB＝∠CPQ， 　　Rt△ACB∽R(shí)t△PCQ 　　∴ 　　(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E(如圖)． 　　∵P是弧AB的中點(diǎn)， 　　 　　又∠CPB＝∠CAB 　　∴∠CPB＝tan∠CAB＝ 　　∴而從 　　由(l)得， 　　(3)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有 　　故PC最大時(shí)，CQ取到最大值． 　　當(dāng)PC過(guò)圓心O，即PC取最大值5時(shí)，CQ最大值為