Question

工程師有一塊長AD為12分米，寬AB為8分米的鐵板，截去了長AE=2分米，AF=4分米的直角三角形，在余下的五邊形中結(jié)的矩形MGCH，M必須在線段EF上．
（1）若截得矩形MGCH的面積為70平方分米，求矩形MGCH的長和寬．
（2）當EM為多少時，矩形MGCH的面積最大？并求此時矩形的周長．

Answer 1

分析：（1）作MN⊥AE，設(shè)矩形的長為x，寬為y由“

AF

AE

=

MN

NE

=

AD-x

y-BE

”和“S=xy”求得長和寬；
（2）設(shè)EM長為a，矩形MGCH的面積用MH、MG表示，由比值關(guān)系把S表示為a的函數(shù)式，求得最大值．

解答：解：（1）作MN⊥AE，設(shè)矩形的長為x分米，寬為y分米；
∵MN⊥AE，
∴MN∥AF，
∴△EMN∽△EFA
∴

AF

AE

=

MN

NE

又∵MN=AD-x=12-x
NE=y-（AB-AE）=y-6
AF=4，AE=2

4

2

=

12-x

y-6

，
S=xy=70
解得：x=10，y=7
答：矩形MGCH的長和寬分別為10分米和7分米．

（2）設(shè)EM長為a，△EMN∽△EFA，

EM

EF

=

MN

AF

=

NE

AE

，
EF=

AE2+AF2

=2

5

，MN=

2 5

5

a，NE=

5

5

a，
MH=AD-MN=12-

2 5

5

a，MG=BE+EN=AB-AE+EN=6+

5

5

a
∴S=MH×MG
=（12-

2 5

5

a）×（ 6+

5

5

a）
=-

2

5

a2+72
由此，a=0時，面積最大即M點與E點重合．
此時的周長L=2MH+2MG=36分米．
答：當EM為0時，矩形MGCH的面積最大，并求此時矩形的周長為36分米．

點評：本題考查了我們由幾何關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系并求最值的能力．