Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+c（a≠0）過點A（-6，0）和點B（2，8），線段AB交y軸于點C．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）點M是線段AB上一個動點，過點M作x軸的垂線，交拋物線y=ax²+c于點N，求線段MN的長度的最大值；
（3）設拋物線y=ax²+c與x軸的另一個交點為E，連接CE．過點O作CE的平行線l．在直線l上是否存在點P，在y軸右側的拋物線y=ax²+c上是否存在點Q，使得四邊形COPQ為直角梯形？若存在，請求出P、Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因為拋物線y=ax²+c（a≠0）過點A（-6，0）、B（2，8），
所以
解這個方程組，
得
所以拋物線的解析式為：；

（2）設直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），
因為A、B坐標分別為A（-6，0），B（2，8），
所以
解這個方程組，得
所以直線AB的解析式為：y=x+6．
設點M的坐標為（m，y₁）（-6≤m≤2），因為點M在線段AB上，所以y₁=m+6．
因為MN⊥x軸，我們可設N點坐標為（m，y₂）．
因為點N在拋物線上，所以．
因為點N在點M的上方，
所以MN=y₂-y₁==．
即MN=．
所以當m=-2時，MN長度的最大值為4．

（3）存在．理由如下：
要使四邊形COPQ為直角梯形，則四邊形COPQ
首先必須為梯形，即需滿足CQ∥OP或CO∥PQ．
①若CQ∥OP，
因為O、P兩點在直線l上，即有CQ∥l．
又因CE∥l，所以點Q在直線CE上．
因為點Q又在拋物線上，
所以點Q是直線CE與拋物線的交點．
由已知E是直線CE與拋物線的交點，
所以E就是滿足條件的一個Q₁點．
在中，令y=0，即，解得x₁=6，x₂=-6（舍去）．
所以E（6，0），即Q₁（6，0）．因為直線CE與拋物線的另一個交點在第二象限，故舍去．
過點Q₁（6，0）作Q₁P₁⊥l，垂足為P₁點，過點P₁作P₁F⊥x軸，垂足為F．
在直線y=x+6中，令x=0，得y=6．即點C的坐標為（0，6）．
在Rt△COQ₁中，因為OC=OQ₁=6，所以∠CQ₁O=45°．
因為CQ₁∥l，所以∠Q₁OP₁=∠CQ₁O=45°．
所以△OP₁Q₁是等腰直角三角形．
所以，，所以P₁點的坐標是（3，-3）．
②CO∥PQ，
因為直線l與直線OC不垂直，所以點C必為直角頂點．CQ⊥y軸．
因為點C的坐標為（0，6），我們可設Q（n，6），
因為點Q在拋物線上，
所以，
解得：（舍去）．
得Q₂點的坐標為．
設P₂Q₂（點P₂在直線l上），交x軸于點G，則．
在Rt△OGP₂中，∠EOP₂=45°，，
所以點P₂的坐標為．
綜上所述，存在滿足條件的點P和點Q，坐標分別是P₁（3，-3），Q₁（6，0）或．
分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（-6，0）、B（2，8），代入y=ax²+c（a≠0），求出二次函數(shù)解析式即可求出；
（2）首先求出直線AB的解析式，設點M的坐標為（m，y₁），因為點M在線段AB上，得出y₁=m+6，設N點坐標為（m，y₂），得出
y₂的關系式，相減，利用二次函數(shù)的最值求出即可；
（3）根據(jù)直角梯形的判定方法，分別由①若CQ∥OP，②CO∥PQ，進行分析得出．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的最值以及待定系數(shù)法求解析式和梯形的判定方法等知識，此題綜合性比較強，用到了分類討論的數(shù)學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．