Question

如圖1，在△ABC中，已知AB=15，cosB=，tanC=．點(diǎn)D為邊BC上的動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以D為圓心，BD為半徑的⊙D交邊AB于點(diǎn)E．
（1）設(shè)BD=x，AE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；
（2）如圖2，點(diǎn)F為邊AC上的動點(diǎn)，且滿足BD=CF，聯(lián)結(jié)DF．
①當(dāng)△ABC和△FDC相似時，求⊙D的半徑；
②當(dāng)⊙D與以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)C為半徑⊙F外切時，求⊙D的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AE=AB-BE進(jìn)而得出y與x的函數(shù)關(guān)系即可；
（2）①過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，利用△ABC和△FDC相似求出⊙D的半徑即可；
②過點(diǎn)F作FM⊥BC，首先利用勾股定理計算出FD的長，再利用外切的性質(zhì)得出DF，進(jìn)而求出⊙D的半徑．
解答：解：（1）過點(diǎn)D作DG⊥BE，垂足為E．
∵DG過圓心，
∴BE=2BG，
在Rt△DGB中，cosB=，
∵BD=x，
∴BG=，
∴BE=，
∵AB=15，
∴y=15-，定義域?yàn)椋?＜x≤；

（2）①過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H
在Rt△ADH中，cosB=
∵AB=15，
∴BH=9，
∴AH=12，
在Rt△AHC中，tanC=
∴HC=5，
∴BC=14，
設(shè)BD=x，則CF=，DC=14-x，
∵∠C=∠C，
∴當(dāng)△ABC和△FDC相似時，有
（ⅰ），
即，
解得：x=，
∴BD=，
（ⅱ），
即，
解得：x=，
∴BD=，
∴當(dāng)△ABC和△FDC相似時，⊙D的半徑為或，
②過點(diǎn)F作FM⊥BC，垂足為M
在Rt△FMC中，tanC=，
∴sinC=，
∵CF=，
∴FM=，MC=，
∴DM=14-x-=14-，
∴DF=，
∵⊙D與⊙F外切，
∴DF=，
∴=，
解得：x₁=，x₂=（舍去）
即BD=，
∴當(dāng)⊙D與⊙F外切時，⊙D的半徑為．
點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理和相切兩圓的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用已知進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．