在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.點(diǎn)E在下底邊BC上,點(diǎn)F在腰AB上.
(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng),設(shè)BE長(zhǎng)為x,試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積;
(2)是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分?若存在,求出此時(shí)BE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1:2的兩部分?若存在,求出此時(shí)BE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn):
等腰梯形的性質(zhì);一元二次方程的應(yīng)用.
專題:
壓軸題;開放型.
分析:
(1)先作AK⊥BC于K,F(xiàn)G⊥BC于G,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì),可得BK=(BC﹣AD)=3,在Rt△ABK中,利用勾股定理可求出AK=4,由于AK、FG垂直于同一直線故平行,可得比例線段,求出FG=,利用面積公式可得S△BEF=﹣x2+x(7≤x≤10,因?yàn)锽F最大取5,故BE最小取7,又不能超過(guò)10);
(2)根據(jù)題意,結(jié)合(1)中面積的表達(dá)式,可以得到S梯形ABCD=﹣x2+x,即14=﹣x2+x,解得,x1=7,x2=5(不合題意,舍去);
(3)仍然按照(1)和(2)的步驟和方法去做就可以了,注意不是分成相等的兩份,而是1:2就可以了,得到關(guān)于x的一元二次方程,先求出根的判別式△,由于△<0,故不存在實(shí)數(shù)根.
解答:
解:(1)由已知條件得:
梯形周長(zhǎng)為24,高4,面積為28.
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G
∴BK=(BC﹣AD)=×(10﹣4)=3,
∴AK==4,
∵EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng),設(shè)BE長(zhǎng)為x,
∴BF=12﹣x,
過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK,
∴,
即:,
則可得:FG=×4
∴S△BEF=BE•FG=﹣x2+x(7≤x≤10);(3分)(2)存在(1分)
由(1)得:﹣x2+x=14,
x2﹣12x+35=0,
(x﹣7)(x﹣5)=0,
解得x1=7,x2=5(不合題意舍去)
∴存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)與面積同時(shí)平分,此時(shí)BE=7;(3)不存在(1分)
假設(shè)存在,第一種情況:顯然是:S△BEF:SAFECD=1:2,(BE+BF):(AF+AD+DC+CE)=1:2(1分),
梯形ABCD周長(zhǎng)的三分之一為=8,面積的三分之一為.因?yàn)锽E=X,
所以BF=(8﹣X)
∵FM∥AH,
∴△FBM∽△ABH,
∴BF:AB=FM:AH,
∴=,
∴FM=,
∴△BEF的面積=,
當(dāng) 梯形ABCD的面積=時(shí),
∴=,
整理方程得:﹣3x2+24x﹣70=0,
△=576﹣840<0
∴不存在這樣的實(shí)數(shù)x.
即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積.
同時(shí)分成1:2的兩部分.(2分)
第二種情況:顯然是:S△BEF:SAFECD=2:1,(BE+BF):(AF+AD+DC+CE)=2:1(1分),
梯形ABCD周長(zhǎng)的三分之一為=8,面積的三分之一為.因?yàn)锽E=x,
所以BF=(8﹣x)
∵FM∥AH,
∴△FBM∽△ABH,
∴BF:AB=FM:AH,
∴,
∴FM=,
∴△BEF的面積=,
當(dāng) 梯形ABCD的面積=時(shí),
∴=,
整理方程得:3x2﹣24x+140=0,
△<0
∴不存在這樣的實(shí)數(shù)x.
即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積.
同時(shí)分成1:2的兩部分.
點(diǎn)評(píng):
本題利用了等腰梯形的性質(zhì)、垂直于同一直線的兩直線平行,勾股定理,三角形、梯形面積公式,解一元二次方程,以及一元二次方程根的判別式等知識(shí).
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