Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC為平行四邊形，y₁=k₁x+b與雙曲線y₂=

k2

x

（x＞0）交于點(diǎn)A（1，3）和點(diǎn)E（3，m）．
（1）求k₁，k₂和b的值；
（2）直接寫出y₁-y₂＜0時(shí)x的取值范圍；
（3）如果平行四邊形AOBC的對(duì)角線OC交雙曲線于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A（1，3）和點(diǎn)E（3，m）分別代入y₂=

k2

x

（x＞0），得：k₂=3，進(jìn)而得出m的值和k₁的值；
（2）利用圖象得出y₁-y₂＜0時(shí)x的取值范圍；
（3）由（1）得：直線y₁=-x+4令y=0，得：x=4，則B（4，0），再由平行四邊形的性質(zhì)可求出C（5，3），再由待定系數(shù)法可求出直線OC的解析式為：y=

3

5

x，進(jìn)而與反比函數(shù)解析式聯(lián)立求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（1，3）和點(diǎn)E（3，m）分別代入y₂=

k2

x

（x＞0），得：k₂=3，
∴3m=3，
解得：m=1，
把A（1，3）和E（3，1）分別代入y₁=k₁x+b，得 

k1+b=3 3k1+b=1

，
解得：

k1=-1 b=4

；

（2）觀察圖象可知，當(dāng)y₁-y₂＜0時(shí)，即y₁＜y₂，
x的取值范圍是：0＜x＜1或x＞3；

（3）由（1）得：
直線y₁=-x+4令y=0，得：x=4，
∴B（4，0），再由平行四邊形的性質(zhì)可求出C（5，3），
將（5，3）代入y=kx得；5k=3，
解得：k=

3

5

，
∴直線OC的解析式為：y=

3

5

x，
解方程組

y= 3 x y= 3 5 x

   
得：

x= 5 y= 3 5 5

  或

x=- 5 y=- 3 5 5

（舍去）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

，

3

5

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比函數(shù)的綜合應(yīng)用，方法總結(jié)兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)適合這兩個(gè)函數(shù)的解析式，可用待定系數(shù)法求出兩個(gè)解析式．求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般讓兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立成方程組，再解這個(gè)方程組即可．