精英家教網(wǎng)已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按圖放置，使點(diǎn)F在BC上，取DF的中點(diǎn)G，連接EG，CG．試探究EG，CG的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系并證明．
分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)和題目的意思作輔助線，延長BE一定過B點(diǎn)，再由直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，求解即可．
解答：精英家教網(wǎng)解：EG⊥CG且EG=CG；
證明：連接BD，則∠DBC=45°，
又∵BE=EF∠BEF=90°，
∴∠EBF=45°=∠DBC，
∴D、E、B共線，
∴∠DEF=90°，
∵DG=FG，
∴EG=
1
2
DF，
同理CG=
1
2
DF，
∴EG=CG，
∵EG=GD，
∴∠3=∠5，
∴∠1=2∠3，
同理∠2=2∠4，
∴∠EGC=2（∠3+∠4）=90°，
∴EG⊥CG．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是：正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、外角的性質(zhì)以及輔助線的作法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．
（1）發(fā)現(xiàn)與證明：
發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長線上時(shí)（如圖1），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：
 
．
②當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到CB的延長線上時(shí)（如圖2），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：
 
．
證明：請(qǐng)你選擇上述兩個(gè)發(fā)現(xiàn)中的任意一個(gè)加以證明，選擇①、②證明的滿分分別為4分和6分．（注意：證明前要注明選擇了哪一個(gè)發(fā)現(xiàn)）
（2）引申與運(yùn)用：
引申：當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí)（如圖3），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：
 
．
運(yùn)用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形（如圖4），則圖中陰影部分的面積和的最大值是
 
cm2．
證明：我選擇
 
進(jìn)行證明．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

24、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一個(gè)公共點(diǎn)A，點(diǎn)G、E分別在線段AD、AB上．
（1）如圖1，連接DF、BF，證明：BF=DF；
（2）若將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中線段DF與BF的長還相等嗎？若相等，請(qǐng)證明；若相不等，連接DG，在旋轉(zhuǎn)的過程中，你能否找到一條線段的長與線段DG的長始終相等．并以圖2為例說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．
精英家教網(wǎng)
（1）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長線上時(shí)（如圖1），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：
 
．
（2）引申：當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí)（如圖2），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：
 
．并證明你的結(jié)論．
（3）運(yùn)用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形（如圖3），則圖中陰影部分的面積和的最大值是
 
cm2．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正方形ABCD和EFCG，點(diǎn)E、F、G分別在線段AC、BC、CD上，正方形ABCD的邊長為6．
（1）如果正方形EFCG的邊長為4，求證：△ABE∽△CAG；
（2）正方形EFCG的邊長為多少時(shí)，tan∠ABE×cot∠CAG=3．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到DA的延長線上時(shí)，△ABE與△ADG面積之間的關(guān)系為：S△ABE
=
=
S△ADG（填“＜”“=”“＞”）；
（2）如圖，當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí)，S△ABE
=
=
S△ADG（填“＜”“=”“＞”），并說明理由；
（3）如圖，四邊形ABCD、四邊形AEFG和四邊形DGMN均為正方形，則S△ABE、S△ADG、S△CDN和S△GMF的關(guān)系是
相等
相等
．
（4）某小區(qū)中有一塊空地，要在其中建三個(gè)正方形健身場所，其余空地（圖中陰影部分）修成草坪，其中一個(gè)正方形的邊長為6m．另外兩個(gè)正方形的邊長之和為10m，則草坪的最大面積為
48
48
m2．

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