Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，OA = 2，OD平分∠BOC交拋物線于點(diǎn)D（點(diǎn)D在第一象限）．

（１）求拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（２）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BPD的周長最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（３）點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使A、D、M、N四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（１）�。�D(2，2)
（２）存在，證明略。
（３）存在，證明略。解析:

解：(1) ∵OA = 2，∴A(– 2，0)。
∵A與B關(guān)于直線對(duì)稱，
∵B(3，0)，由于A、B兩點(diǎn)在拋物線上，
∴解得。     ∴
過D作DE⊥x軸于E，∵∠BOC = 90，OD平分∠BOC，
∴∠DOB = 45，∠ODE = 45，∴DE = OE，即x_D = y_D，
∴，解得x₁ = 2，x₂ =" –" 3(舍去)
∴D(2，2)。······················································································ （4分）
(2) 存在。BD為定值，∴要使△BPD的周長最小，只需PD + PB最小。
∵A與B關(guān)于直線對(duì)稱，∴PB = PA，只需PD + PA最小。
∴連接AD，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PD + PA最小�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ� （6分）

由A(– 2，0)，D(2，2)可得，直線AD：········································· （7分）
令，∴存在點(diǎn)P()，使△BPD的周長最小�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ� （8分）
(3) 存在。
(i) 當(dāng)AD為□AMDN的對(duì)角線時(shí)，MD∥AN，即MD∥x軸。
∴y_M= y_D，
∴M與D關(guān)于直線對(duì)稱。
∴M( – 1，2)�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ� （9分）
(ii) 當(dāng)AD為□ADMN的邊時(shí)，
∵□ADMN是中心對(duì)稱圖形，△AND≌△ANM。
∴
∴令
解得·································· （11分）
綜上所述：滿足條件的M點(diǎn)有三個(gè)M(– 1，2)，
···················································································· （12分）