Question

若x⁴－5x³＋ax²＋bx＋c能被(x－1)²整除，試求(a＋b＋c)²的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：因?yàn)閤4－5x3＋ax2＋bx＋c能被(x－1)2整除 　　所以x4－5x3＋ax2＋bx＋c＝A·(x－1)2．(A為商式) 　　當(dāng)x＝1時(shí)，上等式變?yōu)?/P> 　　14－5×13＋a＋b＋c＝0 　　所以a＋b＋c＝4 　　所以(a＋b＋c)2＝16 　　分析：要出現(xiàn)化數(shù)式a＋b＋c，是須取x＝1，從而將問題轉(zhuǎn)化代數(shù)式的恒等變形． 　　點(diǎn)撥：本題把多項(xiàng)式的除法與代數(shù)式求值結(jié)合在一起．x4－5x3＋ax2＋bx＋c能被(x－1)2整除，即(x－1)2是x4－5x3＋ax2＋bx＋c的一個(gè)因式，當(dāng)x＝1時(shí)，x－1＝0，(x－1)2＝0，此時(shí)多項(xiàng)式x4－5x3＋ax2＋bx＋c的值為0，從而有1－5＋a＋b＋c＝0，a＋b＋c＝4，這一規(guī)律即為多項(xiàng)式的一個(gè)性質(zhì)：若一個(gè)多項(xiàng)式能被(x－a)整除，則x－a是這個(gè)多項(xiàng)式的一個(gè)因式，當(dāng)x＝a時(shí)，多項(xiàng)式的值為0．