![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201308/5286c091d9801.png)
解:(1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2569.png)
(2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258033.png)
圖形、已知、求證和證明過程如下:
已知:在△ABC中,AB=AC,EF∥BC,⊙O內(nèi)切于梯形EBCF,點(diǎn)D、N、G、M為切點(diǎn),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258032.png)
(n是大于1的自然數(shù))
求證:sinB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258033.png)
.
證法一:
連接AO并延長與BC相交
∵⊙O內(nèi)切于梯形EBCF,AB、AC是⊙O的切線,
∴∠BAO=∠CAO.
∵EF∥BC,AB=AC,
∴AE=AF.
又M、N為切點(diǎn),
∴OM⊥EF,ON⊥BC,
∴AO⊥EF于M,AO⊥BC于N.
∵EF∥BC,∴EM∥BN.
∴△AEM∽△ABN.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258034.png)
.
設(shè)EM=k,則BN=nk.
作EH∥MN交BC于H,則HN=EM=k.
∵D、N、M為切點(diǎn),
∴BD=BN=nk,ED=EM=k.
在△EHB中,∠EHB=∠MNB=90°,
BE=BD+DE=(n+1)k,
BH=BN-HN=(n-1)k,
由勾股定理得EH=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6135.png)
•k
∴sinB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258035.png)
.
證法二:
接證法一中,∵EF∥BC,∴EM∥BN
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258036.png)
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設(shè)AM=k,則AN=nk,MN=(n-1)k.
連接OD,∵D為切點(diǎn),∴OD⊥AB
∴OM=OD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
MN=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258037.png)
,OA=AM+MO=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258038.png)
在Rt△AOD中,由勾股定理得AD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6135.png)
•k
∵∠B+∠BAN=∠AOD+∠BAN=90°,
∴∠B=∠AOD
∴sinB=sin∠AOD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258039.png)
.
分析:(1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/55297.png)
的分母加1即是sinB的分母,sinB的分子是2乘以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/55297.png)
的分母的算術(shù)平方根,根據(jù)規(guī)律直接寫出答案即可;
(2)由已知條件先寫出已知和求證,再進(jìn)行證明:
要想表示出sinB,需證明△AEM∽△ABN,得出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258034.png)
,再設(shè)EM=k,則BN=nk,作EH∥MN交BC于H,則HN=EM=k.
由勾股定理得EH=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6135.png)
•k,則sinB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258035.png)
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點(diǎn)評:本題考查的是切割線定理,切線的性質(zhì)定理,勾股定理.