Question

如圖，巳知A為∠POQ的邊OQ上一點，OA=2，以A為頂點的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點，且∠MAN=∠POQ=60°．當∠MAN以點A為旋轉中心，AM邊從與AO重合的位置開始，若按逆時針方向旋轉θ°（∠MAN保持不變）時，M、N兩點在射線OP上向右平移的距離分別為a、b，請問θ等于幾度時b=2a？

Answer 1

分析：△OAB為等邊三角形，則OA=OB=AB=2，則OM=a，BN=b，假定b=2a，則BM=2-a，ON=2+2a，易證△AMB∽△NAO，利用相似比可求出a=1，則在△BAN中，BA=BN=2，得到∠BNA=θ，利用三角形的外角性質即可得到θ的度數(shù)．

解答：解：如圖，△OAB為等邊三角形，則OA=OB=AB=2，
根據(jù)題意得，OM=a，BN=b，
若b=2a，則BM=2-a，ON=2+2a，
∵∠AOB=∠AOB=60°，
∠AMB=∠OAN=60°+θ，
∴△AMB∽△NAO，
∴

AB

ON

=

BM

OA

，即

2

2+2a

=

2-a

2

，
解得a=1，
∴BN=2，
在△BAN中，BA=BN=2，
∴∠BNA=θ，
∴∠AOB=2θ=60°，
∴θ=30°，
即θ等于30度時b=2a．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質和三角形相似的判定與性質以及三角形的外角性質．