Question

【題目】類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．

原題：如圖1，在ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G，若=3，求的值．

（1）嘗試探究

在圖1中，過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是 ，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是 ，的值是

（2）類比延伸

如圖2，在原題的條件下，若=m（m≠0），則的值是 （用含m的代數(shù)式表示），試寫出解答過程．

（3）拓展遷移

如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點(diǎn)E是BC延長線上一點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F，若=a，=b（a＞0，b＞0），則的值是 （用含a，b的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）AB=3EH；CG=2EH；．（2）．（3）ab．

【解析】

試題分析：（1）本問體現(xiàn)“特殊”的情形，=3是一個(gè)確定的數(shù)值．如答圖1，過E點(diǎn)作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來表示，最后求得比值；

（2）本問體現(xiàn)“一般”的情形，=m不再是一個(gè)確定的數(shù)值，但（1）問中的解題方法依然適用，如答圖2所示．

（3）本問體現(xiàn)“類比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，將（1）（2）問中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到梯形中，如答圖3所示

解：（1）依題意，過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，如圖1所示．

則有△ABF∽△EHF，

∴==3，

∴AB=3EH．

∵ABCD，EH∥AB，

∴EH∥CD，

又∵E為BC中點(diǎn)，

∴EH為△BCG的中位線，

∴CG=2EH．

∴．

故答案為：AB=3EH；CG=2EH；．

（2）如圖2所示，作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則△EFH∽△AFB．

∴．

∴AB=mEH．

∵AB=CD，

∴CD=mEH．

∵EH∥AB∥CD，

∴△BEH∽△BCG．

∴=2，

∴CG=2EH．

∴=．

故答案為：．

（3）如圖3所示，過點(diǎn)E作EH∥AB交BD的延長線于點(diǎn)H，則有EH∥AB∥CD．

∵EH∥CD，

∴△BCD∽△BEH，

∴=b，

∴CD=bEH．

又，

∴AB=aCD=abEH．

∵EH∥AB，

∴△ABF∽△EHF，

∴=ab．

故答案為：ab．