Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A和C的坐標(biāo)分別為（8，0）和（5，4），過點(diǎn)C作CB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)D從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度延BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從C出發(fā)，以每秒a（0＜a≤1.25）個(gè)單位的速度延CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（當(dāng)D點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)，P點(diǎn)也隨之停止）．過D作DE∥AC交OA于點(diǎn)E，過P作PQ∥AC交OA于點(diǎn)，連接PD，再過E作EF∥PD交PQ于F．設(shè)P、D兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）分別求過A、C兩點(diǎn)的直線和過B、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）若a=1，求t為何值時(shí)，四邊形DEFP為矩形？并求出此時(shí)直線PQ的解析式；
（3）是否存在這樣的a，t的值，使四邊形DEFP為正方形？若存在，求出此時(shí)a，t的值和正方形的面積；若不存在，說明理由；
（4）以A、O、C為頂點(diǎn)的△AOC中，M是AC上一動(dòng)點(diǎn)，過M作MN∥OA交OC于N，試問，在x軸上是否存在點(diǎn)R，使得△MNR為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法能確定直線AC與拋物線的解析式．
（2）首先表示出BP、BD、OD、OE四邊的長(zhǎng)，若四邊形DEFP為矩形，那么必須滿足的條件是∠PDE是直角，此時(shí)△PBD、△DOE相似，可據(jù)此求出t的值，在求出BP的長(zhǎng)以及點(diǎn)P的坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法即可求出直線PQ的解析式（直線PQ與直線AC平行，那么它們的斜率相同，在設(shè)直線解析式時(shí)可利用這個(gè)特點(diǎn)）．
（3）方法同（2），不過由四邊形DEFP為正方形得出的條件變?yōu)椤鱌BD、△DOE全等，首先由BD=OE求出t的值，再由OD=BP求出a的值；進(jìn)一步能得到DP、DE的長(zhǎng)，由此求得正方形的面積．
（4）此題需要注意兩方面：
①線段MN是底邊（此時(shí)線段MN的長(zhǎng)是點(diǎn)M縱坐標(biāo)的2倍）；②線段MN為腰（此時(shí)線段MN的長(zhǎng)等于點(diǎn)M的縱坐標(biāo)）；
解法大致相同，首先設(shè)出點(diǎn)M或N的縱坐標(biāo)，利用△CMN、△CAO相似，求出這個(gè)縱坐標(biāo)，再利用直線OC、直線AC解析式確定出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)后，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，依題意，有：

8k+b=0 5k+b=4

，解得

k=- 4 3 b= 32 3

∴直線AC：y=-

4

3

x+

32

3

．
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，依題意，有：

64a+8b+c=0 c=4 25a+5b+c=4

，解得

a=- 1 6 b= 5 6 c=4

∴拋物線：y=-

1

6

x²+

5

6

x+c．

（2）過點(diǎn)B作BS∥AC，交x軸于點(diǎn)S，則AS=BC=5，OR=3，∴tan∠OBS=tan∠ODE=

3

4

．
BP=BC-CP=5-at=5-t，BD=t，OD=OB-BD=4-t，OE=

3

4

OD=3-

3

4

t；
由題意，四邊形DEFP是平行四邊形，若四邊形DEFP是矩形，所以∠PDE=90°；
∵∠PDB=∠DEO=90°-∠ODE，∠PBD=∠DOE=90°，
∴△PBD∽△DOE，得

BP

BD

=

OD

OE

即：

5-t

t

=

4

3

，解得 t=

15

7

，則P（

20

7

，4）；
由于直線PQ∥AC，設(shè)直線PQ：y=-

4

3

x+b，代入點(diǎn)P，得：
-

4

3

×

20

7

+b=4，解得 b=

161

21

∴若a=1，當(dāng)t=

15

7

時(shí)，四邊形DEFP為矩形；此時(shí)直線PQ的解析式：y=-

4

3

x+

161

21

．

（3）同（2）可求得：△PBD≌△DOE，則 BD=OE，BP=OD；
∴

t=3- 3 4 t 5-at=4-t

，解得

t= 12 7 a= 19 12

由題意，此時(shí)a的值不在0＜a≤1.25的范圍內(nèi)，所以不存在符合條件的a、t值．

（4）易求得：直線OC：y=

4

5

x；直線AC：y=-

4

3

x+

32

3

．
設(shè)點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)為m，分兩種情況討論：
（Ⅰ）線段MN為等腰Rt△MNR的底邊，則 MN=2m；
由MN∥OA，得：

2m

8

=

4-m

4

，解得 m=2；
∴M（

13

2

，2）、N（

5

2

，2）
∴點(diǎn)R（

9

2

，0）．
（Ⅱ）線段MN為等腰Rt△MNR的腰，則 MN=m；
由MN∥OA，得：

m

8

=

4-m

4

，解得 m=

8

3

∴M（6，

8

3

）、N（

10

3

，

8

3

）
①當(dāng)點(diǎn)N是直角頂點(diǎn)時(shí)，NR⊥x軸，點(diǎn)R（

10

3

，0）；
②當(dāng)點(diǎn)M是直角頂點(diǎn)時(shí)，MR⊥x軸，點(diǎn)R（6，0）；
綜上，存在符合條件的點(diǎn)R，且坐標(biāo)為（

9

2

，0）、（

10

3

，0）、（6，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問題，主要涉及了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、矩形和正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；其中還穿插了全等、相似三角形的性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用；綜合性很強(qiáng)．在解答這道題時(shí)，對(duì)圖示的理解很重要，著重體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性．