Question

題甲：如圖，反比例函數的圖象與一次函數y=mx+b的圖象交于A（1，3），B（n，-1）兩點．
（1）求反比例函數與一次函數的解析式；
（2）根據圖象回答：當x取何值時，反比例函數的值大于一次函數的值．

題乙：如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A，D不重合），一直角邊經過點C，另一直角邊AB交于點E．我們知道，結論“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）當∠CPD=30°時，求AE的長；
（2）是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

甲題：
解：（1）∵A（1，3）在y=的圖象上，
∴k=3，
∴．                                             
又∵B（n，-1）在的圖象上，
∴n=-3，即B（-3，-1）．                               
∴解得：m=1，b=2．                      
∴反比例函數的解析式為，一次函數的解析式為y=x+2；

（2）從圖象上可知，當反比例函數圖象在一次函數圖象上面時，
即x＜-3或0＜x＜1時，反比例函數的值大于一次函數的值．   

乙題：
解：（1）在Rt△PCD中，由tan∠CPD=，得
，
∴AP=AD-PD=10-4．                              
由△AEP∽△DPC知：，
∴；

（2）假設存在滿足條件的點P，設DP=x，則AP=10-x．
由△AEP∽△DPC知：，
∴，
解得x=8．
即PD=8．
分析：甲題：A（1，3）在y=的圖象上，代入就可以求出k的值，得到k=3，把B（n，-1）代入的解析式就可以求出n的值．進而根據待定系數法求出一次函數的解析式．根據函數的圖象就可以得到，反比例函數的值大于一次函數的值時x的范圍．
乙題：①先由“∠CPD=30°和AC=4”得出DP的長，再得AP，從而可求AE；②可以求出，只要先令DP=2AP即可．
點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式，以及反比例函數的圖象畫法和它的性質，利用形數結合解決此類問題，是非常有效的方法．