Question

【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），且當(dāng)x=﹣2和x=5時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等．

（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）如圖1，動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AB邊向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以每秒 個(gè)單位長度的速度沿射線AC方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接EF，將△AEF沿EF翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，得到△DEF．
①是否存在某一時(shí)刻t，使得△DCF為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
②設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得

解得：a= ，b=﹣

（2）

解：①由（1）知二次函數(shù)為y= x2﹣ x﹣2

∵A（4，0），∴B（﹣1，0），C（0，﹣2）

∴OA=4，OB=1，OC=2

∴AB=5，AC=2 ，BC=

∴AC2+BC2=25=AB2

∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°

∵AE=2t，AF= t，∴ =

又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB

∴∠AEF=∠ACB=90°

∴△AEF沿EF翻折后，點(diǎn)A落在x軸上點(diǎn)D處；

由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF= AE=t

假設(shè)△DCF為直角三角形

當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)

（i）若C為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，如圖2

∴AE= AB=

t= ÷2= ；

(ii)若D為直角頂點(diǎn)，如圖3

∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°

∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°

∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC

∵OC⊥BD，∴OD=OB=1

∴AD=3，∴AE=

∴t= ；

當(dāng)點(diǎn)F在AC延長線上時(shí)，∠DFC＞90°，△DCF為鈍角三角形

綜上所述，存在時(shí)刻t，使得△DCF為直角三角形，t= 或t= ．

②(i)當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，重疊部分為△DEF，如圖1、圖2

∴S= ×2t×t=t2；

(ii)當(dāng) ＜t≤2時(shí)，設(shè)DF與BC相交于點(diǎn)G，則重疊部分為四邊形BEFG，如圖4

過點(diǎn)G作GH⊥BE于H，設(shè)GH=a

則BH= ，DH=2a，∴DB=

∵DB=AD﹣AB=4t﹣5

∴ =4t﹣5，∴a= （4t﹣5）

∴S=S△DEF﹣S△DBG= ×2t×t﹣ （4t﹣5）× （4t﹣5）=﹣ t2+ t﹣ ；

(iii)當(dāng)2＜t≤ 時(shí)，重疊部分為△BEG，如圖5

∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t）

∴S= ×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．

【解析】（1）根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)A以及“當(dāng)x=﹣2和x=5時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等”兩個(gè)條件，列出方程組求出待定系數(shù)的值．（2）①首先由拋物線解析式能得到點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，則線段OA、OB、OC的長可求，進(jìn)一步能得出AB、BC、AC的長；首先用t 表示出線段AD、AE、AF（即DF）的長，則根據(jù)AE、EF、OA、OC的長以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一個(gè)直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三種情況討論：1、點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，由于△ABC恰好是直角三角形，且以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，所以此時(shí)點(diǎn)B、D重合，由此得到AD的長，進(jìn)而求出t的值；2、點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，此時(shí)∠CDB與∠CBD恰好是等角的余角，由此可證得OB=OD，再得到AD的長后可求出t的值；3、點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，∠DFC是銳角，而點(diǎn)F在射線AC的延長線上時(shí)，∠DFC又是鈍角，所以這種情況不符合題意．②此題需要分三種情況討論：1、當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A與線段AB中點(diǎn)之間時(shí)，兩個(gè)三角形的重疊部分是整個(gè)△DEF；2、當(dāng)點(diǎn)E在線段AB中點(diǎn)與點(diǎn)O之間時(shí)，重疊部分是個(gè)不規(guī)則四邊形，那么其面積可由大直角三角形與小鈍角三角形的面積差求得；3、當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時(shí)，重疊部分是個(gè)小直角三角形．