3903
分析:根據(jù)完全平方公式求得
=
,然后利用換元法設(shè)令
=a,
=b;經(jīng)計算知,a,b是方程x
2-16x+4=0的兩個根,然后根據(jù)根與系數(shù)是關(guān)系解得a
3、b
3;再利用立方差公式解得a
3+b
3=16(a
2+b
2)-4(a+b)=3904,利用b的取值范圍來解答問題.
解答:
=
,
令
=a,
=b,
得a+b=16,ab=4,a,b是方程x
2-16x+4=0的兩個根,
故得a
2=16a-4,b
2=16b-4;
a
3=16a
2-4a,b
3=16b
2-4b;
∴a
3+b
3=16(a
2+b
2)-4(a+b)=16【16(a+b)一8】-4(a+b)=252(a+b)-128=3904.
∵0<b<1,∴0<b
3<1,
∴a
3的最大整數(shù)值不超過3903.
故答案是:3903.
點評:本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、二次根式的混合運算.將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.