(2012•亭湖區(qū)一模)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,M是邊AC的中點,CH⊥BM于H.
(1)試求sin∠MCH的值;
(2)求證:∠ABM=∠CAH;
(3)若D是邊AB上的點,且使△AHD為等腰三角形,請直接寫出AD的長為______
【答案】分析:(1)根據(jù)已知條件“M是邊AC的中點”知AM=MC=1;在直角三角形MBC中利用勾股定理求得MB=,由∠HCB+∠HBC=∠CMH+∠MCH=90°求得∠MCH=∠MBC;所以sin∠MCH=
(2)在Rt△MHC中,利用邊角關(guān)系求得MH的值,再在Rt△CBM中利用射影定理求得;然后根據(jù)SAS判定△AMH∽△BMA;最后由相似三角形的對應(yīng)角相等證明∠ABM=∠CAH;
(3)分三種情況討論:①AD為底邊時,AD的長度;②HD為底邊時,AD的長度;③AH為底邊時,AD的長度.
解答:解:(1)在△MBC中,∠MCB=90°,BC=2,
又∵M是邊AC的中點,
∴AM=MC=BC=1,(1分)
∴MB=,(1分)
又CH⊥BM于H,則∠MHC=90°,
∴∠MCH=∠MBC,(1分)
∴sin∠MCH=.(1分)

(2)在△MHC中,.(1分)
∴AM2=MC2=MH•MB,
,(2分)
又∵∠AMH=∠BMA,
∴△AMH∽△BMA,(1分)
∴∠ABM=∠CAH.(1分)

(3)∵△AMH∽△BMA,
=,
在Rt△BMC中,BM==,
在Rt△ABC中,AB=AC=2,
∴AH=×AB=×2=,
∵∠ABM=∠CAH,∠BAC=∠ABC=45°,
∴∠HAD=∠MCH,
①AD為底邊時,如圖1,AD=2AHcos∠HAD,
∵sin∠MCH=,
∴cos∠HAD==,
∴AD=2××=;
②HD為底邊時,如圖2,AD=AH=;
③AH為底邊時,AD=AH÷cos∠HAD=×÷=×=
故AD的長為:
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定及勾股定理的應(yīng)用.解答(3)題時,注意要分三種情況來求AD的長度,即:①AD為底邊時;②AH為底邊時;③HD為底邊時.以防漏解.
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