Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)正方形ABCD，它的4個(gè)頂點(diǎn)為A（10，0），B （0，10），C（-10，0），D（0，-10），則該正方形內(nèi)及邊界上共有    個(gè)整點(diǎn)（即縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)A（10，0），B （0，10），C（-10，0），D（0，-10）可知正方形ABCD的四條邊的方程分別是x+y=10、x-y=-10、x+y=-10、x-y=10；然后分別找出直線y=10、9、8、7…與正方形的邊和內(nèi)部有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1、3、5、7…19；對(duì)稱的正方形在x軸的下發(fā)還有同樣多，另外最后直線y=0（對(duì)角線x軸）上有（-10，0）、（-9，0）、…（0，0）、…（10，0）共21個(gè)；所以符合條件的整點(diǎn)數(shù)有：2（1+3+5+…+19）+21（個(gè)）．
解答：解：正方形ABCD的四條邊的方程分別是x+y=10、x-y=-10、x+y=-10、x-y=10．
直線y=10與正方形交于B（0，10）（共1個(gè)）；
直線y=9與正方形的邊交于（-1，9）、（1，9），界于其間的還有（0，9），（共3個(gè)）；
依次是y=8與正方形的邊和內(nèi)部有交點(diǎn)（-2，8）、（-1，8）、（0，8）、（-1，8）、（2，3），（共5個(gè)）；
…
直線y=1與正方形的邊和內(nèi)部有交點(diǎn)（-9，1）、…、（9，1），（共19個(gè) ）；
對(duì)稱的正方形在x軸的下方還有同樣多，
最后直線y=0（對(duì)角線x軸）上有（-10，0）、（-9，0）、…（0，0）、…（10，0）共21個(gè)
所以正方形及其內(nèi)部共有：2（1+3+5+…+19）+21=2×+21=221（個(gè)）整點(diǎn)．
故答案為：221．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了排列、組合問(wèn)題．解答此題的關(guān)鍵是找出找出直線y=10、9、8、7…與正方形的邊和內(nèi)部有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1、3、5、7…19．