Question

如圖，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF繞著斜邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交AC、BC所在的直線于點(diǎn)P，Q．當(dāng)△BDQ為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為    ．

Answer 1

【答案】分析：分類討論：當(dāng)BD=BQ，由AC=DF=3，BC=EF=4，則AB=5，過D作DM⊥BC與M，DN⊥AC于N，利用三角形的中位線的性質(zhì)得到DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=AC=2，可得到BQ與QM的長(zhǎng)，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠3=90°-∠B，易得∠2=∠B，又Rt△ABC≌Rt△DEF，利用三角形全等的性質(zhì)得到∠EDF=∠A=90°-∠B，則∠1=∠B，即∠1=∠2，則△CPD∽△CDA，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到PN：QM=DN：DM，代值計(jì)算可得CP，從而求得AP；
當(dāng)DB=DQ，則Q點(diǎn)在C點(diǎn)，易證△CPD∽△CDA，然后根據(jù)三角形相似的相似比即可得到CP，從而求得AP；
當(dāng)QB=QD，則∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，得到∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，易證Rt△APD∽R(shí)t△ABC，然后根據(jù)三角形相似的相似比即可求得AP．
解答：解：（1）當(dāng)BD=BQ，
∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，則AB=5，
過D作DM⊥BC與M，DN⊥AC于N，如圖，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=AC=2，
∴BQ=BD=，QM=-2=，
∴∠3=90°-∠B，
而∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠B，
又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠EDF=∠A=90°-∠B，
而∠1+∠EDF+∠2=90°，
∴∠1=∠B，即∠1=∠2，
∴△DQM∽△DPN，
∴PN：QM=DN：DM，即PN：=2：，
∴PN=，
∴AP=+=；

（2）當(dāng)DB=DQ，則Q點(diǎn)在C點(diǎn)，如圖，
DA=DC=，
而Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠EDF=∠A，
∴△CPD∽△CDA，
∴CP：CD=CD：CA，即CP：=：3，
∴CP=，
∴AP=3-=；

（3）當(dāng)QB=QD，則∠B=∠BDQ，
而∠EDF=∠A，
∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如圖，
∴Rt△APD∽R(shí)t△ABC，
∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=：3，
∴AP=．
故答案為或或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等．也考查了三角形全等的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及分類討論思想的運(yùn)用．