Question

已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，F(xiàn)是CD邊的中點，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G，則下列結論正確的有（ ）
①BF=AC；②BF=2CE；③CE=BG；④DG=GH．

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可以證明△BCD是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BD=CD，然后證明△BDF與△CDA全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BF=AC，從而判斷①正確；根據(jù)BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以證明△ABE與△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=CE，從而判斷②正確；過F作FM垂直BC交BC于M，可證BG：BF=1：=，CE：BF=，從而求解；過F作FM⊥BC，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DF=FM，所以DG=FM，從圖中可以看出FM＞GH，所以DG＞GH，從而判斷④錯誤．
解答：解：∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF與△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC，故①正確；

∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴在△ABE與△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE=AC，
∴BF=2CE，故②正確；

過F作FM垂直BC交BC于M，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵H是BC邊的中點，
∴DH垂直平分BC，
∵F是CD的中點，F(xiàn)M⊥BC，
∴FM是△CDH的中位線，
∴FM垂直平分HC，
則BG：BF=1：=，
CE：BF=
所以BG：CE=4：3，故③錯誤；

∵BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，
∴FD=FM，
∴DG=FM，
從圖可知，F(xiàn)M＞GH，
∴DG＞GH，故④錯誤．
綜上所述，①②共2個正確．
故選B．
點評：本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，仔細分析圖形并熟練掌握各性質(zhì)是解題的關鍵．