Question

【題目】如圖，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，E點是BC的中點，F(xiàn)是AB延長線上一點且FB=1．

（1）求經(jīng)過點O，A，E三點的拋物線解析式；
（2）點P在拋物線上運動，當點P運動到什么位置時△OAP的面積為2，請求出點P的坐標；
（3）在拋物線上是否存在一點Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：A的坐標是（2，0），E的坐標是（1，2）．

設拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，

根據(jù)題意得： ，

解得： ．

則拋物線的解析式是y=﹣2x2+4x

（2）解：當△OAP的面積是2時，P的縱坐標是2或﹣2．

當﹣2x2+4x=2時，解得：x=1，則P的坐標是（1，2）；

當﹣2x2+4x=﹣2時，解得：x=1± ，

此時P的坐標是（1+ ，﹣2）或（1﹣ ，﹣2）

（3）解：AF=AB+BF=2+1=3．

OA=2，則A是直角頂點時，Q不可能在拋物線上；

當F是直角頂點時，Q不可能在拋物線上；

當Q是直角頂點時，Q到AF的距離是 AF= ，若Q存在，則Q的坐標是（2﹣ ， ），即（ ， ），在拋物線上；

綜上，拋物線上存在Q點滿足題目要求

【解析】（1）先求出A、O、E三點的坐標，利用待定系數(shù)法代入解析式即可；（2）因為OA=2，所以當△OAP的面積是2時，就是P到x軸的距離是2，即P的縱坐標是2或﹣2，即﹣2x2+4x=2或2x2+4x=﹣2解方程；（3）△AFQ是等腰直角三角形可分類討論：A是直角頂點；F是直角頂點；Q是直角頂點；