解:(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0),
將A(4,0),B(0,3)的坐標(biāo)代入有:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/269833.png)
?
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/300939.png)
,
∴y=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
x+3;
(2)△ACD∽△ABO
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/300940.png)
∴d=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/300941.png)
,
即:d=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14.png)
x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
(0<x<4);
(3)當(dāng)OQ=3時,圓C的半徑為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/300942.png)
,即x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
,
此時圓心C到直線AB的距離d=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
,
∴d=x,即直線AB與圓C相切;
(4)不妨設(shè)圓C與直線AB的切點(diǎn)為M,當(dāng)PQ不與X軸垂直時,要使△OPQ為直角三角形,須使∠OPQ=90°,
當(dāng)OQ<3時,圓C與直線相離,∠OPQ<90°,
當(dāng)OQ=3時,圓c與直線相切,P點(diǎn)與M點(diǎn)重合.∠OPQ=90°,
當(dāng)3<OQ<4時,圓c與線段AB有兩個交點(diǎn)滿足題設(shè)條件.
∴當(dāng)3≤OQ<4時,△OPQ可為直角三角形.
分析:(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0),將A(4,0),B(0,3)的坐標(biāo)代入利用待定系數(shù)法求得,y=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
x+3;
(2)先證明△ACD∽△ABO,利用其成比例線段可求得d=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14.png)
x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
(0<x<4);
(3)當(dāng)OQ=3時,圓C的半徑為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/300942.png)
,即x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
此時圓心C到直線AB的距離d=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
,所以d=x,即直線AB與圓C相切;
(4)不仿設(shè)圓C與直線AB的切點(diǎn)為M,當(dāng)PQ不與X軸垂直時,要使△OPQ為直角三角形,須使∠OPQ=90°;
當(dāng)OQ<3時,圓C與直線相離,∠OPQ<90°,
當(dāng)OQ=3時,圓c與直線相切,
P點(diǎn)與M點(diǎn)重合.∠OPQ=90°,
當(dāng)3<OQ<4時,圓c與線段AB有兩個交點(diǎn)滿足題設(shè)條件.所以當(dāng)3≤OQ<4時,△OPQ可為直角三角形.
點(diǎn)評:主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是會靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象上點(diǎn)的意義和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,并會用相似三角形的性質(zhì)求得對應(yīng)線段之間的關(guān)系,熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系.
試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想,請注意體會.