Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象相交于點P，以P為頂點作45°的角，角的兩邊分別交坐標(biāo)軸于A，B，C，D．連結(jié)AB，CD．
（1）求OP的長；
（2）若點C（-6，0），求D點的坐標(biāo)；
（3）△OAB的周長是否變化？若不變化，試求出△OAB的周長；若變化，請說明理由；
（4）當(dāng)OP⊥AB時：①求證：OP⊥CD；②求△OAB的面積．

Answer 1

解：（1）作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F，如圖，
解方程組得或（x＞0，舍去），
∴P點坐標(biāo)為（4，4），
∴OP==4；

（2）設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，
把C（-6，0）和P（4，4）代入得，解得，
∴直線PC的解析式為y=x+，
∴A點坐標(biāo)為（0，），
∴AF=OF-OA=，
把△PAF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PGE，
∴∠PEG=∠PFA=90°，EG=FA，∠APG=90°，PA=PG，
而∠PEO=90°，
∴點O、E、G點共線，
∴BG=BE+EG=BE+AF，
∵∠APB=90°，
∴∠BPG=90°，
在△PBA和△PBE中
，
∴△PBA≌△PBE（SAS），
∴AB=BG=AF+BE，
設(shè)OB=t，則BE=4-t，AB=+4-t=-t，
在Rt△OAB中，∵OA²+OB²=AB²，
∴（）²+t²=（-t）²，解得t=，
∴OB=，
∵OB∥PF，
∴△DOB∽△DFP，
∴=，即=，解得OD=，
∴D點坐標(biāo)為（0，-）；

（3）△OAB的周長不變化，其周長為8．
由（2）得到AB=BG=AF+BE，
∴△OAB的周長=OA+OB+AB=OA+OB+AF+BE=AF+OE=4+4=8；

（4）①證明：OP⊥AB于H，如圖，
∵OP平分∠AOB，
∴OH垂直平分AB，
∴OA=OB，PA=PB，
∴OP平分∠APB，即∠APO=∠BPO，
∵∠POC=∠POA+∠AOC=135°，
∠POD=∠POB+∠BOD=135°，
∴∠POC=∠POD，
在△POC和△POB中
，
∴△POC≌△POB（ASA），
∴OC=OD，
∵PO平分∠COD，
∴PO⊥CD；
②解：∵∠APO=∠BPO，∠APB=45°，
∴∠APO=∠BPO=22.5°，
而∠OPE=45°，
∴∠HPB=∠BPE=22.5°，
在△BHP和△BEP中
，
∴△BHP≌△BEP（AAS），
∴PH=PE=4，
∵OP=4，
∴OH=4-4=4（-1）
∴AB=2OH=8（-1），
∴△OAB的面積=×4（-1）×8（-1）=48-32．
分析：（1）先解有兩個解析式組成的方程組確定P點坐標(biāo)為（4，4），然后用勾股定理計算OP=4；
（2）先利用待定系數(shù)法確定直線PC的解析式為y=x+，得到A點坐標(biāo)為（0，），則AF=OF-OA=；再把△PAF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PGE，
然后利用三角形全等證明AB=BG=AF+BE，設(shè)OB=t，則BE=4-t，AB=+4-t=-t，在Rt△OAB中利用勾股定理可計算得到OB=；接著證明△DOB∽△DFP，
利用相似比可求得OD=，于是得到D點坐標(biāo)為（0，-）；
（3）由（2）得到AB=BG=AF+BE，再根據(jù)三角形周長定義得到△OAB的周長=OA+OB+AB=OA+OB+AF+BE=AF+OE=8；
（4）①OP⊥AB于H，由OP平分∠AOB得到OH垂直平分AB，則OA=OB，PA=PB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得OP平分∠APB，即∠APO=∠BPO，易∠POC=∠POD=135°，根據(jù)“ASA”可判斷△POC≌△POB，則OC=OD，由于PO平分∠COD，根據(jù)等腰三角形三線合一即可得到PO⊥CD；
②由∠APO=∠BPO，∠APB=45°得到∠APO=∠BPO=22.5°，則∠HPB=∠BPE=22.5°，根據(jù)“AAS”可判斷△BHP≌△BEP，則PH=PE=4，所以O(shè)H=4-4=4（-1），根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=2OH=8（-1），然后根據(jù)三角形面積公式進行計算．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；會運用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段相等；熟練運用勾股定理和相似比進行幾何計算．