Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延長線上的一點,線段BD的垂直平分線EG交AB于點E,交BD于點G.

(1)當∠B=30°時,AE和EF有什么關系?請說明理由.

(2)當點D在BC的延長線上(CD<BC)運動時,點E是否在線段AF的垂直平分線上?

Answer 1

【答案】（1）AE=EF（2）點E是在線段AF的垂直平分線上

【解析】

（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出DE=BE，求出∠D=∠B=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)求出∠A=∠DEA=60°，即可得出答案.
（2）求出∠A=∠AFE，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出即可．

解：

(1)AE=EF.理由如下:

∵線段BD的垂直平分線EG交AB于點E,交BD于點G,

∴DE=BE，

∵∠B=30°,

∴∠D=∠B=30°，

∴∠DEA=∠D+∠B=60°,

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,

∴∠A=60°,

∴∠A=∠DEA=60°,

∴△AEF是等邊三角形,

∴AE=EF.

(2)點E是在線段AF的垂直平分線上.理由如下:

∵∠B=∠D,∠ACB=90°=∠FCD,

∴∠A=∠DFC,

∵∠DFC=∠AFE,

∴∠A=∠AFE,

∴EF=AE,

∴點E在線段AF的垂直平分線上.