Question

6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，連接CO并延長交⊙O的切線AP于點P．
（1）求證：∠APC=∠BCP．
（2）若BC=4，sin∠APC=$\frac{3}{5}$，求PA的長．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)圓的對稱性及AB=AC可知沿著AE對折，$\widehat{AB}$與$\widehat{AC}$重合，且DB=DC，所以EA⊥BC，從而可得BC∥AP，則∠APC=∠BCP．
（2）由    sin∠APC=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{3}{5}$可設(shè)OA=3k，OP=5k，則OC=OA=3k，再證明△APO∽△CDO即可求解．

解答 解：（1）證明：連接AO 并延長叫BC于點D，交$\widehat{BC}$于點E．如下圖所示：

∵AP切⊙O于點A，
∴EA⊥PA．
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴EA⊥BC，
∴BC∥AP，
∴∠APC=∠BCP               
（2）∵AE⊥BC，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵sin∠APC=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{3}{5}$，
∴設(shè)OA=3k，OP=5k，則OC=OA=3k
∵BC∥AP，
∴△APO∽△CDO，
∴$\frac{PA}{CD}=\frac{PO}{CO}$，
∴$\frac{PA}{2}=\frac{5k}{3k}$，
∴PA=$\frac{10}{3}$

點評 本題考查了切線的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓的切線的性質(zhì)與判定以及圓的弦、弧、直徑之間的位置關(guān)系及性質(zhì)