【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(3,4),B(5,0),連結(jié)AO,AB.點C是線段AO上的動點(不與A,O重合),連結(jié)BC,以BC為直徑作⊙H,交x軸于點D,交AB于點E,連結(jié)CD,CE,過E作EF⊥x軸于F,交BC于G.
(1)AO的長為 ,AB的長為 (直接寫出答案)
(2)求證:△ACE∽△BEF;
(3)若圓心H落在EF上,求BC的長;
(4)若△CEG是以CG為腰的等腰三角形,求點C的坐標(biāo).
【答案】(1)5,2;(2)見解析;(3)4;(4)(,),(,)
【解析】
(1)利用兩點間距離公式計算即可;
(2)根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可判斷;
(3)當(dāng)GC=GE時,點G與點H重合,根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理解答即可;
(4)分兩種情形畫出圖形,利用銳角三角函數(shù)和相似三角形的性質(zhì)分別求解即可解決問題.
解:(1)∵A(3,4),B(5,0).
∴OA==5,OB=5,AB=.
故答案為:5;2.
(2)如圖1中,
∵OA=OB=5,
∴∠A=∠EBF,
∵BC是直徑,
∴∠BEC=∠AEC=90°,
∵EF⊥OB,
∴∠EFB=90°,
∴∠AEC=∠EFB=90°,
∴△ACE∽△BEF;
(3)如圖2中,當(dāng)GC=GE時,點G與點H重合,
∴GE=GB=GC,
∴∠GEB=∠EBG,
∵∠GEB+∠ABO=90°,
∴∠EBG+∠ABO=90°,
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∴∠A+∠EBG=90°,
∴∠ACB=90°,
∴BC⊥AO,
∴OC=OBcos∠AOB,
∵A(3,4),OA=5,
∴cos∠AOB=,
∴OC=5×=3,
∴BC==;
(4)①如圖2中,當(dāng)GC=GE時,點G與點H重合,
∴GE=GB=GC,
∴∠GEB=∠EBG,
∵∠GEB+∠ABO=90°,
∴∠EBG+∠
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∴∠A+∠EBG=90°,
∴∠ACB=90°,
∴BC⊥AO,
∵A(3,4),OA=5,
∴cos∠AOB=,
∴OC=OBcos∠AOB=5×=3,
∴OD= OCcos∠AOB=3×=,CD==,
∴C(,).
②如圖3中,當(dāng)CE=CG時,作AK⊥OB于K.設(shè)CD=4k,OD=3k.
∵A(3,4),B(5,0),
∴AK=4,OK=3,OB=5,BK=2,
∵CE=CG,
∴∠CEG=∠CGE=∠BGF,
∵∠CEG+∠BEF=90°,∠BGF+∠CBD=90°,
∴∠CBD=∠BEF,
∵EF⊥OB,AK⊥OB,
∴EF∥AK,
∴∠BEF=∠BAK,
∴∠CBD=∠BAK,
∵∠CDB=∠AKB=90°,
∴△CBD∽△BAK,
∴,
∴,
∴k=,
∴C(,).
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【題目】在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=CD=4,BC=5,∠B的平分線交DC于點E,交AD的延長線于點F.
(1)如圖(1),若∠C的平分線交BE于點G,寫出圖中所有的相似三角形(不必證明);
(2)在(1)的條件下求BG的長;
(3)若點P為BE上動點,以點P為圓心,BP為半徑的⊙P與線段BC交于點Q(如圖(2)),請直接寫出當(dāng)BP取什么范圍內(nèi)值時,①點A在⊙P內(nèi);②點A在⊙P內(nèi)而點E在⊙P外.
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【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4=0(m為常數(shù))
(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)設(shè)x1,x2是方程的兩個實數(shù)根,且x1+x2=4,請求出方程的這兩個實數(shù)根.
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【題目】如圖是一個摩天輪,它共有8個座艙,依次標(biāo)為1~8號,摩天輪中心O的離地高度為50米,摩天輪中心到各座艙中心均相距25米,在運行過程中,當(dāng)1號艙比3號艙高5米時,1號艙的離地高度為_____米.
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【題目】如圖,甲、乙為兩座建筑物,它們之間的水平距離BC為30m,在A點測得D點的仰角∠EAD為45°,在B點測得D點的仰角∠CBD為60°,求這兩座建筑物的高度(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,△ABC的各個頂點都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的交點上.
(1)把△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,作出旋轉(zhuǎn)后的△A1B1C1;
(2)若△A2B2C2與△ABC關(guān)于原點O對稱,則△A2B2C2的各頂點坐標(biāo)為:A2 ;B2 ;C2 .
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【題目】如圖,水庫大壩的橫截面是梯形,壩頂寬5米,CD的長為20米,斜坡AB的坡度i=1:2.5(i為坡比即BE:AE),斜坡CD的坡度i=1:2(i為坡比即CF:FD),求壩底寬AD的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC′,連接A′C,則A′C的長為_____.
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