【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A3,4),B50),連結(jié)AOAB.點C是線段AO上的動點(不與A,O重合),連結(jié)BC,以BC為直徑作⊙H,交x軸于點D,交AB于點E,連結(jié)CD,CE,過EEFx軸于F,交BCG

1AO的長為   ,AB的長為   (直接寫出答案)

2)求證:ACE∽△BEF

3)若圓心H落在EF上,求BC的長;

4)若CEG是以CG為腰的等腰三角形,求點C的坐標(biāo).

【答案】15,2;(2)見解析;(34;(4)(,),(,

【解析】

1)利用兩點間距離公式計算即可;

2)根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可判斷;

3)當(dāng)GCGE時,點G與點H重合,根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理解答即可;

4)分兩種情形畫出圖形,利用銳角三角函數(shù)和相似三角形的性質(zhì)分別求解即可解決問題.

解:(1)∵A3,4),B50).

OA5,OB5AB

故答案為:5;2

2)如圖1中,

OAOB5,

∴∠A=∠EBF,

BC是直徑,

∴∠BEC=∠AEC90°

EFOB,

∴∠EFB90°

∴∠AEC=∠EFB90°,

∴△ACE∽△BEF

3)如圖2中,當(dāng)GCGE時,點G與點H重合,

GEGBGC,

∴∠GEB=∠EBG,

∵∠GEB+ABO90°,

∴∠EBG+ABO90°,

OAOB,

∴∠A=∠OBA,

∴∠A+EBG90°,

∴∠ACB90°

BCAO,

OCOBcosAOB,

A3,4),OA=5,

cosAOB,

OC=3

BC=;

4)①如圖2中,當(dāng)GCGE時,點G與點H重合,

GEGBGC,

∴∠GEB=∠EBG,

∵∠GEB+ABO90°,

∴∠EBG+ABO90°

OAOB,

∴∠A=∠OBA,

∴∠A+EBG90°

∴∠ACB90°,

BCAO

A3,4),OA=5,

cosAOB,

OCOBcosAOB=5×3

OD= OCcosAOB=3×,CD==

C,).

②如圖3中,當(dāng)CECG時,作AKOBK.設(shè)CD4k,OD3k

A3,4),B5,0),

AK=4,OK=3,OB=5,BK=2

CECG,

∴∠CEG=∠CGE=∠BGF

∵∠CEG+BEF90°,∠BGF+CBD90°

∴∠CBD=∠BEF,

EFOB,AKOB,

EFAK,

∴∠BEF=∠BAK,

∴∠CBD=∠BAK,

∵∠CDB=∠AKB90°

∴△CBD∽△BAK,

,

k,

C).

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