Question

已知，M是等邊△ABC邊BC上的點(diǎn)．
（1）如圖1，過點(diǎn)M作MN∥AC，且交AB于點(diǎn)N，求證：BM=BN；
（2）如圖2，連接AM，過點(diǎn)M作∠AMH=60°，MH與∠ACB的鄰補(bǔ)角的平分線交與點(diǎn)H，過H作HD⊥BC于點(diǎn)D．
①求證：MA=MH；  ②猜想寫出CB，CM，CD之間的數(shù)量關(guān)系式，并加于證明；
（3）如圖3，（2）中其它條件不變，若點(diǎn)M在BC延長線上時(shí)，（2）中兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若不成立請(qǐng)直接寫出新的數(shù)量關(guān)系式（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，在根據(jù)等角對(duì)等邊可得MB=BN；
（2）①過M點(diǎn)作MN∥AC交AB于N，然后證明△AMN≌△MHC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得MA=MH；
②過M點(diǎn)作MG⊥AB于G，再證明△BMG≌△CHD可得CD=BG，因?yàn)锽M=2CD可得BC=MC+2CD；
（3）（2）中結(jié)論①成立，②不成立；過M點(diǎn)作MN∥AB交AC延長線于N，證明△AMN≌△HMC可得MA=MH，AN=CH，再根據(jù)∠CHD=30°，可得CH=2CD，又有AC=BC，CN=CM可得AN=AC+CN=BC+CN=CB+CM，進(jìn)而得到2CD=CB+CM．

解答：（1）證明：∵M(jìn)N∥AC
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN；

（2）①證明：過M點(diǎn)作MN∥AC交AB于N，
則BM=BN，∠ANM=120°
∵AB=BC，
∴AN=MC，
∵CH是∠ACB外角平分線，所以∠ACH=60°，
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，
又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，
∴∠HMC+∠AMN=60°
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠HMC=∠MAN，
在△ANM和△MCH中

∠ANM=∠MCH AN=MC ∠HMC=∠MAN

，
∴△AMN≌△MHC（ASA），
∴MA=MH；

②CB=CM+2CD；
證明：過M點(diǎn)作MG⊥AB于G，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN=HC，
∵M(jìn)N=MB，
∴HC=BM，
∵△BMN為等邊三角形，
∴BM=2BG，
在△BMG和△CHD中

∠B=∠HCD ∠MGB=∠HDC HC=MB

，
∴△BMG≌△CHD（AAS），
∴CD=BG，
∴BM=2CD
所以BC=MC+2CD；

（3）（2）中結(jié)論①成立，②不成立，
過M點(diǎn)作MN∥AB交AC延長線于N，
∵M(jìn)N∥AB，
∴∠N=∠BAC=60°，
∴∠ACB=60°，
∴∠NCM=60°，
∴∠NMC=180°-60°-60°=60°，
∴△CNM是等邊三角形，
∴CM=MN，
∵∠AMH=60°，∠CMN=60°，
∴∠AMH+∠1=∠CMN+∠1，
即∠AMN=∠CMH，
在△AMN和△HMC中

∠HCM=∠N=60° NM=MC ∠HMC=∠AMN

，
∴△AMN≌△HMC（ASA），
∴MA=MH；AN=CH，
∵∠HDC=90°，∠HCD=60°，
∴∠CHD=30°，
∴CH=2CD，
∵AC=BC，CN=CM
∴AN=AC+CN=BC+CN=CB+CM，
∵AN=CH，
2CD=CB+CM，
即：CB=2CD-CM．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練掌握證明三角形全等的方法．