Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：y=

4

3

x+8與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A、點(diǎn)C，且與x軸的另一交點(diǎn)為B（x₀，0），其中x₀＞0，又點(diǎn)P是拋物線的對稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并在圖1中的l上找一點(diǎn)P₀，使P₀到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離之和最�。�
（2）若△PAC周長的最小值為10+2

41

，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在線段CO上有一動(dòng)點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)O移動(dòng)（M不與端點(diǎn)C、O重合），過點(diǎn)M作MH∥CB交x軸于點(diǎn)H，設(shè)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒，試把△P₀HM的面積S表示成時(shí)間t的函數(shù)，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）的條件下，當(dāng)S=

75

32

時(shí)，過M作x軸的平行線交拋物線于E、F兩點(diǎn)，問：過E、F、C三點(diǎn)的圓與直線CN能否相切于點(diǎn)C？請證明你的結(jié)論．（備用圖圖3）

Answer 1

分析：（1）由題意A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱，則BC所在直線與對稱軸的交點(diǎn)即為P₀；
（2）由（1）所求可知該題周長最小即為 AC+BC的長，從而求出x₀，而解得；
（3）由△OBC∽△CMN，得到高關(guān)于t的式子，因?yàn)镸H∥BC，得到三角形MHP₀三角形底邊關(guān)于t的表達(dá)式，根據(jù)t的取值范圍，從而求得S的最大值．
（4）把S的取值代入（3）中表達(dá)式中求得t，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而證明各點(diǎn)．

解答：解：（1）由題意直線AC與x軸的交點(diǎn)為A，
所以當(dāng)y=0，則x=-6，
所以點(diǎn)A（-6，0）．
同理點(diǎn)C（0，8），
由題意，A、B是拋物線y=ax²+bx+8與x軸的交點(diǎn)，
∴-6，x₀是一元二次方程ax²+bx+8=0的兩個(gè)根，
∴-6+x₀=-

b

a

，-6x₀=

8

a

，
∴a=-

4

3x0

，b=-

8

x0

+

4

3

．
∵A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱，∴BC所在直線與對稱軸的交點(diǎn)即為P₀．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，則n=8，mx₀+n=0，
∴m=-

8

x0

，n=8．
∴BC的解析式為y=-

8

x0

x+8．
∴當(dāng)x=-

b

2a

=

-6+x0

2

時(shí)，y=

24

x0

+4，
∴P₀的坐標(biāo)為（

-6+x0

2

，

24

x0

+4）；

（2）由（1）可知三角形PAC最小即為AC+BC=10+2

41

，

62+82

+

x 2 0 +82

=10+2

41

，
解得x₀=10或x₀=-10（不符舍去），
則點(diǎn)B（10，0），
由點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的二次函數(shù)式為y=-

2

15

x2 +

8

15

x+8=-

2

15

（x-2）²+

128

15

．
頂點(diǎn)N（2，

128

15

）；

（3）如圖，作MN⊥BC于點(diǎn)N，
則△OBC∽△NCM，
所以

h

10

=

2t

2 41

，
即h=

10 41 t

41

．
因?yàn)镸H∥BC，
所以

8-2t

8

=

MH

BC

，
解得MH=

8-2t

8

BC=

8-2t

8

×2

41

=

41

4

(8-2t)，
S=

1

2

MH•h，
=

1

2

×

41

4

（8-2t）×

10 41 t

41

，
=10t-

5

2

t2，
因?yàn)槊棵胍苿?dòng)2個(gè)單位，
則當(dāng)t=2時(shí)符合范圍0＜t＜4，
所以當(dāng)t為2時(shí)S最大為10；

（4）把S的取值代入（3）中表達(dá)式中求得t，
從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，
S=

75

32

，即

75

32

=-

5

2

t²+10t，
則解得t₁=

1

4

，t₂=

15

4

．
則由題意知C、E、F三點(diǎn)所在圓半徑為4，
所以直線CN與C、F、E所在圓相切．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，知道三點(diǎn)求二次函數(shù)式，考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的結(jié)合求三角形面積，知道面積求點(diǎn)，很好結(jié)合，是道好題．