Question

7、設(shè)有101個自然數(shù)，記為a₁，a₂，…，a₁₀₁．已知a₁+2a₂+3a₃+…+100a₁₀₀+101a₁₀₁=s是偶數(shù)，
求證：a₁+a₃+a₅+…+a₉₉+a₁₀₁是偶數(shù)．

Answer 1

分析：首先利用偶數(shù)乘以任何一個自然數(shù)都是偶數(shù)，任何偶數(shù)相加減的結(jié)果都是偶數(shù)，把式子a₁+2a₂+3a₃+…+100a₁₀₀+101a₁₀₁=s是偶數(shù)里面的與偶數(shù)相乘的項去掉，只討論a₁+3a₃+5a₃…+101a₁₀₁的奇偶性即可，再進一步利用奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)討論解答即可解決問題．

解答：證明：∵a₁+2a₂+3a₃+…+100a₁₀₀+101a₁₀₁=s是偶數(shù)，
而2a₂+4a₄+…+100a₁₀₀=s₁也是偶數(shù)，
∴a₁+3a₃+5a₃…+101a₁₀₁一定是偶數(shù)，
a₁+a₃+a₅+…+a₉₉+a₁₀₁與a₁+3a₃+5a₃…+101a₁₀₁的奇偶性是相同的，
①a₁+a₃+a₅+…+a₉₉+a₁₀₁這51個數(shù)的和，如果里面有奇數(shù)個偶數(shù)，偶數(shù)個奇數(shù)，
可以得到計算的結(jié)果是偶數(shù)，推出結(jié)論與已知相同；
②a₁+a₃+a₅+…+a₉₉+a₁₀₁這51個數(shù)的和，如果里面有偶數(shù)個偶數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)，
可以得到計算的結(jié)果是奇數(shù)，推出結(jié)論與已知相矛盾，假設(shè)不成立；
綜上所知a₁+a₃+a₅+…+a₉₉+a₁₀₁是偶數(shù)．

點評：此題主要考查運用奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)指意計算規(guī)律解決問題．