【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,拋物線y=ax2+2xa+c經(jīng)過A(﹣4,0),B(0,4)兩點,與x軸交于另一點C,直線y=x+5與x軸交于點D,與y軸交于點E.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P是第二象限拋物線上的一個動點,連接EP,過點E作EP的垂線l,在l上截取線段EF,使EF=EP,且點F在第一象限,過點F作FM⊥x軸于點M,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t,線段FM的長度為d,求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍);

(3)在(2)的條件下,過點E作EH⊥ED交MF的延長線于點H,連接DH,點G為DH的中點,當(dāng)直線PG經(jīng)過AC的中點Q時,求點F的坐標(biāo).

【答案】(1);(2)d=5+t;(3)F.

【解析】

試題分析:(1)直接把A、B坐標(biāo)代入求出a、c得值即可;(2)分別過P、F向y軸作垂線,垂足分別為A、B,過P作PNx軸,垂足為N,易證PEA′≌△EFB,可得出d=FM=OEEB,再代入可求得解析式;(3)先求得F、H的坐標(biāo),發(fā)現(xiàn)點P和點H的縱坐標(biāo)相等,則PH與x軸平行,根據(jù)平行線截線段成比例定理可得G也是PQ的中點,由此表示出點G的坐標(biāo)并列式,求出t的值并取舍,計算出點F的坐標(biāo).

試題解析:(1)由題意得,解得,拋物線解析式為;(2)分別過P、F向y軸作垂線,垂足分別為A、B,過P作PNx軸,垂足為N,當(dāng)x=0時,y=5,E(0,5),OE=5,∵∠PEO+OEF=90°PEO+EPA=90°,∴∠EPA=OEF,PE=EF,EAP=EBF=90°,∴△PEA′≌△EFB,PA=EB=t,d=FM=OB=OEEB=5t)=5+t;

(3)如圖,由直線DE的解析式為:y=x+5,EHED,直線EH的解析式為:y=x+5,

FB=AE=5t2t+4)=t2+t+1,F(t2+t+1,5+t),點H的橫坐標(biāo)為:t2+t+1,

y=t2t1+5=t2t+4,H(t2+t+1,t2t+4),G是DH的中點,G(),即G(t2+t2,t2t+2),PHx軸,DG=GH,PG=GQ,

,解得t=,P在第二象限,t<0,t=,F().

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(2)設(shè)點E(x,y)是拋物線上一動點,且位于第一象限,四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形,求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

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(1)求拋物線的解析式;

(2)若點D在線段OC上,且BD⊥DE,BD=DE,求D點的坐標(biāo);

(3)在條件(2)下,在拋物線的對稱軸上找一點M,使得△BDM的周長為最小,并求△BDM周長的最小值及此時點M的坐標(biāo);

(4)在條件(2)下,從B點到E點這段拋物線的圖象上,是否存在一個點P,使得△PAD的面積最大?若存在,請求出△PAD面積的最大值及此時P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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